I. Somme d’une famille finie de nombres complexes

CALCUL ALGÉBRIQUE

I Somme d’une famille finie de nombres complexes. . . . 3

I.1 NotationsX i∈I aiet n X i=1 ai. . . . 3

I.2 Propriétés de la somme . . . . 5

I.3 Sommes remarquables . . . . 10

Identité remarquableaⁿ−bⁿ . . . . 10

Sommes télescopiques . . . . 10

Sommes arithmétiques . . . . 11

Sommes géométriques . . . . 12

I.4 Sommes doubles . . . . 12

II Produit d’une famille finie de nombres complexes . . . . 19

III Coefficients binomiaux – Formule du binôme. . . . 24

III.1 Définition et propriétés . . . . 24

III.2 Formule du binôme de Newton . . . . 26

IV Introduction aux systèmes linéaires. . . . 29

IV.1 Vocabulaire des systèmes linéaires et interprétation géométrique . . . . 29

IV.2 Opérations élémentaires sur les lignes. . . . 31

IV.3 Exemples de résolution de systèmes linéaires : introduction à la méthode du pivot . . . . 32

Systèmes de deux équations à deux inconnues . . . . 32

Systèmes de trois équations à trois inconnues . . . . 35

Systèmes de deux équations à trois inconnues . . . . 38

CONTENUS CAPACITÉS&COMMENTAIRES a) Sommes et produits

Somme et produit d’une famille finie de nombres réels ou complexes. NotationsX i∈I

a_i, n X i=1

a_i,Y i∈I

a_i, n Y i=1

a_i. Cas oùIest vide.

Sommes et produits télescopiques, exemples de changements d’in- dices et de regroupements de termes.

Dans la pratique, on est libre de présenter les calculs avec des points de suspension.

Expressions simplifiées de n X k=1

k, n X k=1

k², n X k=0

x^k. Factorisation deaⁿ−bⁿpara−b.

Sommes doubles. Produit de deux sommes finies. Exemples de sommes triangulaires.

Rappels sur la factorielle, les coefficients binomiaux.

Formule du binôme dansR^.

Convention Ãn

k

!

=0 pourk<0 etk>n.

b) Résolution de petits systèmes linéaires par la méthode du pivot Système linéaire à coefficients réels de deux ou trois équations à deux ou trois inconnues.

Interprétation géométrique : intersection de droites dansR^{2, de} plans dansR^3.

Algorithme du pivot et mise en évidence des opérations élémentaires. NotationsL_i↔L_j,L_i←λL_i(λ,^0),Li←L_i+λL_j.

I. Somme d’une famille finie de nombres complexes

Dans tout le chapitreK^désigneR^ouC^.

Définition 6.1 – Famille d’éléments indexée par une partie SoitI un ensemble.

Unefamille d’éléments de E indexée par I est une application deIdansE.

On utilise alors la notation (x_i)_i∈I plutôt que I → E i 7→ x(i)

pour désigner cette application.

Le programme se limite au cas où I est un ensemble ne contenant qu’un nombre fini d’éléments. Par exemple I={1, 2, . . . ,n}avecn∈N^?.

Remarque 6.1

Dans toute la suite du chapitre,Idésigne un ensemble contenant un nombrefinid’éléments.

I.1. NotationsX

i∈I

a_i et

n

X

i=1

a_i

Définition 6.2 – NotationX

i∈I

a_i

Soit (a_i)_i∈I une famille finie de nombres complexes indexée parI.

La somme de tous les éléments de la famille est notéeX

i∈I

a_i. On dit queiest l’indiceou lavariablede la somme.

Par convention, lorsqueI=∅^{, on pose X}

i∈∅

a_i=0.

1. On noteI=©

1, 3, 5, 7, 9ª

et on considère la famille (i)_i∈I. On a alorsX

i∈I

i=1+3+5+7+9=25.

2. On noteI= ‚1,nƒavecn∈N^?. On considère la famille (1)_i∈I. On a alorsX

i∈I

1=1+ · · · +1

| {z }

nfois

=n.

Exemple 6.1

1. La notationX

i∈I

a_ine donne pas d’indication concernant à l’ordre dans lequel on somme les éléments de la famille.

Ce n’est pas un problème, en effet, l’addition des complexes estcommutative. Autrement dit, peu importe l’ordre dans lequel on somme les éléments de la famille, le résultat sera toujours le même.

2. Soientmetndeux entiers relatifs avecmÉn.

La somme X

i∈‚m,nƒ

a_i est aussi notée

n

X

i=m

a_iou X

mÉiÉn

a_iet correspond à la somme «a_m+a_m+1+ · · · +a_n».

L’addition des complexes étant commutative, l’ordre dans lequel sont écrits les termes de la somme «a_m+a_m+1+· · ·+a_n» n’a pas d’importance. Par exemple, on peut aussi écrire «a_n+a_n−1+ · · · +a_m» et la valeur de la somme reste inchangée.

3. La variable «i» est ditemuette: on peut la remplacer par n’importe quelle autre lettre. Les notationsX

i∈I

a_i, Remarque 6.2

X

j∈I

a_jetX

z∈I

a_zdésignent toutes le même objet : la somme des éléments de la famille (a_i)_i∈I. De plus, l’indice d’une somme n’a de sens que dans la somme. Par exemple, les expressionsi

n

X

i=1

i²et à _n

X

i=1

i²

! +i³ n’ont pas de sens.

Exercice 6.1

Soient (m,n)∈Z^{2 tel quem}Énet (a_i)_i∈‚m,nƒune famille de nombres complexes.

1. Combien y a-t-il de termes dans la somme

n

X

i=m

a_i? 2. En déduire la valeur de

100

X

i=0

3.

Résolution

1. Il y an−m+1 termes.

2.

100 X i=0

3=3+ · · · +3

| {z } 101 fois

=101×3=303.

Théorème 6.1 Soitn∈N^eta∈K^. On a :

1.

n

X

i=1

i=

n

X

i=0

i=1+2+ · · · +n=n×(n+1)

2 .

2.

n

X

i=1

i²=

n

X

i=0

i²=1²+2²+ · · · +n²=n×(n+1)×(2n+1)

6 .

3. sia,^{1, alors}

n

X

i=0

aⁱ=1−aⁿ⁺¹ 1−a . 4. sia=1, alors

n

X

i=0

aⁱ=n+1.

Démonstration

1. Méthode 1 : par récurrence.

Méthode 2 : par regroupement des termes.

On noteS=1+2+ · · · +n. Le casn=0 est clair, dans la suite, on supposenÊ1.

On a :

1 + 2 + . . . + n S

+ n + n−1 + . . . + 1 S

= n+1 + n+1 + . . . + n+1 2S

z }| { ntermes tous égaux àn+1 Donc, 2S=n×(n+1).

2. Méthode 1 : par récurrence. Pour toutn∈N^{, on note}Hn: « Xn i=0

i²=n×(n+1)×(2n+1)

6 ».

Initialisation: Pourn=0, on a X0 i=0

i²=0=0×(0+1)×(2×0+1)

6 . Donc,H0. Hérédité: soitn∈N. On supposeHnet on montreHn+1.

Par hypothèse de récurrence, on a : n+1X

i=0 i²=

à n X i=0

i²

!

+(n+1)²=n×(n+1)×(2n+1)

6 +(n+1)²=(n+1)×

µn×(2n+1) 6 +(n+1)

¶ .

Or,

n(2n+1)

6 +(n+1)=2n²+7n+6

6 =(n+2)×(2n+3)

6 =(n+2)×(2 (n+1)+1)

6 .

D’où, n+1X i=0

i²=(n+1)×(n+2)×(2 (n+1)+1)

6 . Donc,Hn+1. Par le principe de récurrence, pour toutn∈N^,

n X i=0

i²=n×(n+1)×(2n+1)

6 .

Méthode 2 : à l’aide de sommes télescopiques (voir plus loin) 3. Méthode 1 : par récurrence. Pour toutn∈N^{, on note}Hn: «

n X i=0

aⁱ=1−aⁿ⁺¹ 1−a ».

Initialisation: Pourn=0, on a 0 X i=0

aⁱ=1=1−a¹

1−a. Donc,H0. Hérédité: soitn∈N. On supposeHnet on montreH_n+1. Par hypothèse de récurrence, on a :

n+1 X i=0

aⁱ= Ã _n

X i=0

aⁱ

!

+aⁿ⁺¹=1−aⁿ⁺¹

1−a +aⁿ⁺¹=1−aⁿ⁺¹+aⁿ⁺¹×(1−a)

1−a =1−aⁿ⁺² 1−a . Donc,Hn+1.

Par le principe de récurrence, pour toutn∈N^,

n X i=0

aⁱ=1−aⁿ⁺¹ 1−a . Méthode 2 : à l’aide d’une somme télescopique (voir plus loin) 4. Lorsquea=1, on a

n X i=0

aⁱ= n X i=0

1=n+1

Les démonstrations par récurrence demandent de connaître à l’avance ou de conjecturer le résultat. On verra une méthode permettant d’obtenir les relations de la proposition précédente à l’aide de sommes télescopiques.

Remarque 6.3

I.2. Propriétés de la somme

Théorème 6.2 – Linéarité de la somme

Soient (a_i)_i∈I et (b_i)_i∈Ides familles finies de nombres complexes indexées par Iet (_λ,_µ)∈C^2. On a :

X

i∈I

(_λ×a_i+µ×b_i)=λ×X

i∈I

a_i+µ×X

i∈I

b_i.

Démonstration

Par commutativité de la somme, on a :X i∈I

(λ×a_i+µ×b_i)=X i∈I

(λ×a_i)+X i∈I

(µ×b_i).

Puis, en factorisant parλdans la première somme et parµdans la seconde, on obtient l’égalité voulue.

Proposition 6.1 – Changement d’indice

Soient (m,n)∈Z^{2 avecm}Énet (a_i)_i∈‚m,nƒune famille finie de nombres complexes.

Pour toutp∈Z^{, on a :}

n

X

i=m

a_i=

n+p

X

j=m+p

a_j−p. On parle dechangement (ou glissement) d’indice i=j−p(ou j=i+p).

Démonstration

On a :

i m m+1 . . . n

j m+p m+p+1 . . . n+p

j−p m m+1 . . . n

Les familles (a_i)_i∈‚m,nƒet (a_j−p)_{j∈‚m+p,n+pƒ}sont donc les mêmes.

On est alors en train de sommer les mêmes complexes. D’où, n X i=m

a_i= n+p

X j=m+p

a_j−p.

Quand on utilise un glissement d’indice, il ne faut pas oublier de termes ou compter plusieurs fois le même terme dans la somme !

Dans la somme

n

X

i=m

a_i, on peut dire que « l’indice idécrit ‚m,nƒ» ; ou encore que « l’indice i se « balade » entre m,m+1, . . . ,n».

Quand on renommeien j−p, l’indice j−pdoit encore décrire‚m,nƒ. Pour cela, l’indice jdoit se « balader » entre m+p,m+p+1, . . . ,m+n.

Vous ne devez pas utiliser l’expression « l’indice se balade » dans une copie ! Je vous donne ici un moyen de contrôler vos changements d’indice.

Attention

Soitn∈N^{?. On a :}

n

X

i=1

(i−1)²=

n−1X

j=0

j²

| {z }

Changement d’indice

j=i-1

=(n−1)×nס

2 (n−1)+1¢

6 =n×(n−1)×(2n−1

6 .

Exemple 6.2

Proposition 6.2 – Changement d’indice

Soitn∈N^{et (a}i)_i∈‚0,nƒune famille de nombres complexes.

On a :

n

X

i=0

a_i=

n

X

j=0

a_n−j. On parle dechangement d’indice i=n−j(ou j=n−i)

Démonstration

On a :

i 0 1 . . . n

n−j 0 1 . . . n

j n n−1 . . . 0

Les familles (a_i)_i∈‚0,nƒ et (a_n−j)_j∈‚0,nƒ sont donc composées des mêmes éléments. On est alors en train de sommer les mêmes complexes :

n X i=0

a_i= n X j=0

a_n−j.

Pensez ici aussi à contrôler votre changement d’indice.

Dans la somme

n

X

i=0

a_i, l’indiceidécrit‚0,nƒ.

Quand on renommeienn−j, l’indicen−jdoit encore décrire‚0,nƒ. Pour cela, l’indice jdoit se « balader » entre 0, 1, . . . ,n.

Attention

Soitn∈N^{. On a : 2}

n

X

i=0

i=

n

X

i=0

i+

n

X

i=0

i.

Le changement d’indice j=n−idans la dernière somme donne :

n

X

i=0

i=

n

X

j=0

(n−j).

Or,

n

X

j=0

(n−j)= Ã _n

X

j=0

n

!

−

n

X

j=0

j=n+n+ · · · +n

| {z }

n+1 fois

−

n

X

j=0

j=n×(n+1)−

n

X

j=0

j.

De plus, on peut renommer la variable j:

n

X

j=0

j=

n

X

i=0

i.

Donc, 2

n

X

i=0

i=

n

X

i=0

i+n×(n+1)−

n

X

i=0

i=n×(n+1). On retrouve la formule

n

X

i=0

i=n×(n+1)

2 .

Exemple 6.3 – Réécriture de la démonstration de1+2+ · · · +n=^n×(n+1)₂

Proposition 6.3

Soit (a_i)_i∈I une famille de nombres complexes indexée parI.

On considèreI₁ etI₂ des parties deI telles queI₁∩I₂=∅^etI1∪I₂=I.

Alors,

X

i∈I

a_i= X

i∈I1

a_i+X

i∈I2

a_i.

Démonstration

On sait queI₁∩I₂=∅donc, les termes de la famille (a_i)_i∈Iapparaissent au plus une fois dans la somme X i∈I₁

a_i+X i∈I₂

a_i. On sait queI₁∪I₂=Idonc, les termes de la famille (a_i)_i∈I apparaissent au moins une fois dans la somme X

i∈I1

a_i+ X i∈I2

a_i. Au final, X

i∈I₁ a_i+X

i∈I₂

a_iest la somme des termes de la famille (a_i)_i∈Iet chaque élément de la famille apparaît une et une seule fois.

Ï En prenantI₂=∅^{, on aI}1=I, donc,X

i∈I

a_i=X

i∈I1

a_i+X

i∈I2

a_i=X

i∈I

a_i+X

i∈∅

a_i. D’où, en simplifiant parX

i∈I

a_i, X

i∈∅

a_i=0 ce qui est en accord avec la convention choisie.

Ï On peut généraliser le résultat de la proposition : si I₁, . . . ,I_p sont des parties de I deux à deux disjointes (autrement dit, pour touti, ^j,Ii∩I_j=∅) vérifiantI=I₁∪ · · · ∪I_p, alors

X

i∈I

a_i= X

i∈I1

a_i+X

i∈I2

a_i+ · · · + X

i∈Ip

a_i=

p

X

k=1

à X

i∈Ik

a_i

! Remarque 6.6

Proposition 6.4 – Cas particulier important : relation de Chasles Soit (m,n,p)∈Z^{3tel quem}ÉpÉn. Alors,

n

X

i=m

a_i=

p

X

i=m

a_i+

n

X

i=p+1

a_i.

Démonstration

On a :‚m,nƒ = ‚m,pƒ ∪ ‚p+1,nƒet‚m,pƒ ∩ ‚p+1,nƒ =∅^.

Il suffit alors d’appliquer la proposition précédente avecI= ‚m,nƒ,I₁= ‚m,pƒetI₂= ‚p+1,nƒ

L’indice de la deuxième somme se « balade » entre p+1 etn.

Attention

Soitn∈N^?. Calculons

2n

X

k=1

min(k,n).

On a :

2n

X

k=1

min(k,n)=

n

X

k=1

min(k,n)

| {z }

=k

+

2n

X

k=n+1

min(k,n)

| {z }

=n

=

n

X

k=1

k+

2n

X

k=n+1

n=n×(n+1)

2 +n²=n×(3n+1)

2 .

En particulier, on en déduit n×(3n+1)

2 est un entier, comme somme de nombres entiers.

Donc, pour toutn∈N^?,n×(3n+1) est un entier pair.

Exemple 6.4

Ï Soitn∈N. Considérons (a_i)_i∈‚1,2nƒune famille de nombres complexes.

On noteI₁ (respectivementI₂) l’ensemble des entiers pairs (respectivement impairs) compris entre 1 et 2n.

On a alors :

I₁=©

2, 4, 6, . . . , 2nª

=© 2k¯

¯k∈ ‚1,nƒª

et I₂=©

1, 3, 5 . . . , 2n−1ª

=© 2k+1¯

¯k∈ ‚0,n−1ƒª De plus, I₁∩I₂=∅^etI1∪I₂=I. Donc,

2n

X

i=1

a_i= X

i∈I1

a_i+X

i∈I2

a_i. La somme X

i∈I1

a_iest parfois notée

2n

X

ii=1pair

a_i. D’autre part, on a :

X

i∈I1

a_i=

2n

X

ii=1pair

a_i=a₂+a₄+a₆+ · · · +a_2n= Xn k=1

a_2k.

On dit qu’on a réalisé lechangement de variable i=2k.

De même, la somme X

i∈I2

a_i est parfois notée

2n

X

i=1 iimpair

a_i. D’autre part, on a :

X

i∈I₂

a_i=

2n

X

i=1 iimpair

a_i=a₁+a₃+a₅+ · · · +a_2n−1=

n−1

X

k=0

a_2k+1.

On dit qu’on a réalisé lechangement de variable i=2k+1.

Donc,

2n

X

i=1

a_i=

n

X

k=1

a_2k+

n−1

X

k=0

a_2k+1.

Remarque 6.8 – Un autre cas particulier important : partition indices pairs/impairs

Ï Soitn∈N. Considérons (a_i)_{i∈‚1,2n+1ƒ}une famille de nombres complexes. De la même manière, on montre que :

2n+1

X

i=1

a_i=

n

X

k=1

a_2k+

n

X

k=0

a_2k+1.

Exercice 6.2 – Regroupement des termes d’indices pairs et des termes d’indices impairs SoientN∈N^{et (a}i)_i∈‚0,Nƒune famille de nombres complexes.

Montrer que :

N

X

i=0

a_i=

¥_N

2

¦

X

k=0

a_2k+

¥_N−1

2

¦

X

k=0

a_2k+1.

Indication: On pourra distinguer le casN pair (N=2n) et le casN impair (N=2n+1), puis s’inspirer de la remarque précédente.

Résolution

I.3. Sommes remarquables

Identité remarquableaⁿ−bⁿ Théorème 6.3

Soitn∈N^{et (a,b)}∈C^2. On a :

aⁿ−bⁿ = (a−b)×

n−1

X

k=0

a^k×b^n−1−k

= (a−b)×

n−1X

k=0

a^n−1−k×b^k

= (a−b)ס

aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²×b+aⁿ⁻³×b²+ · · · +a×bⁿ⁻²+bⁿ⁻¹¢ . Démonstration

En développant les produits, on a : a×

³

aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²×b+aⁿ⁻³×b²+ · · · +a×bⁿ⁻²+bⁿ⁻¹´

=aⁿ+aⁿ⁻¹×b+aⁿ⁻²×b²+ · · · +a²×bⁿ⁻²+a×bⁿ⁻¹ et

b×

³

aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²×b+aⁿ⁻³×b²+ · · · +a×bⁿ⁻²+bⁿ⁻¹´

=aⁿ⁻¹×b+aⁿ⁻²×b²+aⁿ⁻³×b³+ · · · +a×bⁿ⁻¹+bⁿ. Donc, en faisant la différence des deux égalités précédentes, on a :

(a−b)×

³

aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²×b+aⁿ⁻³×b²+ · · · +a×bⁿ⁻²+bⁿ⁻¹´

=aⁿ−bⁿ.

De plus, l’égalité n−1

X k=0

a^k×b^n−1−k= n−1

X j=0

a^n−1−j×b^jdécoule du changement d’indicej=n−1−k.

Pourn=2, on retrouvea²−b²=(a−b)×

1

X

k=0

a^1−k×b^k=(a−b)×(a+b).

Remarque 6.9

Soitn∈N^?. Montrons que la fonction f :x7→xⁿest dérivable surR^. Soitx₀∈R. D’après la proposition précédente, pour tout réelx,^x0, on a :

f(x)−f(x₀)

x−x₀ =xⁿ−x₀ⁿ x−x₀ =

n−1

X

k=0

x^k×xⁿ₀^−1−k.

Donc, en passant à la limite dans la somme : lim

x→x0

f(x)−f(x₀) x−x₀ =

n−1

X

k=0

xⁿ⁻¹₀ =n×x₀ⁿ⁻¹. Donc, f est dérivable enx₀et f⁰(x₀)=n×xⁿ⁻¹₀ . Ceci est vrai pour toutx₀∈R^. On en déduit que f est dérivable surRet que, pour toutx∈R^{, f0(x)}=n×xⁿ⁻¹.

Exemple 6.5 – Application de la factorisationaⁿ−bⁿ

Sommes télescopiques

Il ne faut pas apprendre par cœur la formule de la proposition suivante, on retrouve le résultat au brouillon ou de tête.

Proposition 6.5 – Somme télescopique

Soit (m,n)∈Z^{2et (a}i)_{i∈‚m,n+1ƒ}une famille de nombres complexes.

On dit que la somme

n

X

i=m

(a_i+1−a_i) esttélescopiqueet de plus, on a :

n

X

i=m

(a_i+1−a_i)=a_n+1−a_m.

Démonstration

Les termes de la somme se simplifient : n X i=m

(a_i+1−a_i) = a_n+1 − ^an + ^{an −} an−1 + a_n−1 − a_n−2 + . . .

+ a_m+2 − a_m+1 + a_m+1 − a_m

= a_n+1−a_m.

Soitn∈N^{?. On a :} _n X

k=1

1 k×(k+1)=

n

X

k=1

µ1 k− 1

k+1

¶

=1− 1

n+1= n n+1. De même,

n

X

k=1

ln µ

1+1 k

¶

=

n

X

k=1

ln µk+1

k

¶

=

n

X

k=1

¡ln(k+1)−ln(k)¢

=ln(n+1)−ln(1)=ln(n+1).

Exemple 6.6

Sommes arithmétiques Théorème 6.4

Soit (u_n)_n∈Nune suite arithmétique de raisonr∈C. Autrement dit, pour toutn∈N^,un=u₀+n×r.

Alors, pour tout (m,n)∈N^{2 tel quem}Én,

n

X

k=m

u_k=u_m+u_n

2 ×(n−m+1)=premier terme+dernier terme

2 ×nombre de termes.

Démonstration

Soit (m,n)∈N^{2tel quem}Én. On noteS=um+u_m+1+ · · · +un.

Pour toutk∈N^aveckÉn, on a :u_m+k+u_n−k=u₀+(m+k)×r+u₀+(n−k)×r=u₀+m×r+u₀+n×r=u_m+u_n. D’où,

u_m + u_m+1 + . . . + u_n S

+ un + u_n−1 + . . . + um S

= un+um + un+um + . . . + un+um 2S z }| {

n−m+1 termes tous égaux àun+um Donc, 2

n X k=m

u_k=(n−m+1)×(um+un).

Sommes géométriques Théorème 6.5

Soit (u_n)_n∈Nune suite géométrique de raison a∈C\ {1} . Autrement dit, pour toutn∈N^,un=u₀×aⁿ. Alors, pour tout (m,n)∈N^{2 tel quem}Én,

n

X

k=m

u_k=u_m×1−a^n−m+1

1−a =premier terme×1−raisonnombre de termes

1−raison . Quitte à multiplier numérateur et dénominateur par−1, on a :

n

X

k=m

u_k=u_m×a^n−m+1−1

a−1 =premier terme×raisonnombre de termes

−1 raison−1 . Démonstration

Soit (m,n)∈N^{2tel quem}Én. Pour toutk∈ ‚m,nƒ,u_k=u₀×a^k=u₀×a^m×a^k−m=u_m×a^k−m On a alors :

Xn k=m

u_k=um+u_m+1+ · · · +un=um×(1+a+ · · · +a^n−m).

D’où, en multipliant para, il vient :a× n X k=m

u_k=um×(a+a²+ · · · +a^n−m+1).

Donc, en retranchant les deux égalités, on a :

(1−a)×

n X k=m

u_k=um×(1−a^n−m+1).

Lorsquea=1, on a, pour toutn∈N^,un=u₀, et, par conséquent,

n

X

k=m

u_n=

n

X

k=m

u₀=(n−m+1)×u₀. Remarque 6.10

I.4. Sommes doubles

SoientEetFdeux ensembles. Leproduit cartésiendeEetF est l’ensemble : E×F=©

(e,f)¯

¯e∈Eetf ∈Fª . Par exemple,R×R=©

(x,y)¯

¯x∈R^{et y}∈R^ªetN×U=© (n,z)¯

¯n∈N^etz∈U^ª Remarque 6.11

Définition 6.3 – Somme double rectangulaire

SoientI etJdeux ensembles finis non vides d’entiers et (a_i,j)_(i,j)∈I×J une famille de nombres complexes.

On note X

(i,j)∈I×J

a_i,jla somme des éléments de la famille (a_i,j)_(i,j)∈I×J.

On peut voir la somme X

(i,j)∈I×J

a_i,jcomme la somme des éléments d’un tableau.

Pour cela, prenonsI= ‚p,nƒetJ= ‚q,mƒoùpÉnetqÉmsont des entiers.

La somme X

(i,j)∈I×J

a_i,jcorrespond à la somme des éléments du tableau suivant :

i

j q q+1 · · · m

p a_p,q a_p,q+1 · · · a_p,m

p+1 a_p+1,q a_p+1,q+1 · · · a_p+1,m ... ... ... · · · ... n a_n,q a_n,q+1 · · · a_n,m

Remarque 6.12 – Pour fixer les idées (et éclairer le terme « rectangulaire »)

Proposition 6.6

SoientI etJdeux ensembles finis non vides d’entiers et (a_i,j)_(i,j)∈I×J une famille de nombres complexes.

On a :

X

(i,j)∈I×J

a_i,j=X

i∈I

à X

j∈J

a_i,j

!

=X

j∈J

à X

i∈I

a_i,j

! .

Dans le cas particulier oùI= ‚p,nƒetJ= ‚q,mƒavecpÉnetqÉmdes entiers, on a : X

(i,j)∈‚p,nƒ×‚q,mƒ

a_i,j=

n

X

i=p

à _m X

j=q

a_i,j

!

=

m

X

j=q

à _n X

i=p

a_i,j

! .

Démonstration

Ces égalités sont des conséquences de la commutativité de l’addition.

Pour nous en convaincre, visualisons à l’aide de tableaux la preuve dans le cas oùI= ‚p,nƒetJ= ‚q,mƒavecpÉnetqÉmdes entiers.

On considère le tableau :

i

j q q+1 · · · m

p ap,q ap,q+1 · · · ap,m p+1 a_p+1,q a_p+1,q+1 · · · a_p+1,m

..

. ... ... · · · .. . n a_n,q a_n,q+1 · · · a_n,m

Il y a deux manières différentes de sommer les éléments du tableau (qui aboutiront bien sûr au même résultat !).

ÏMéthode 1: on commence par sommer les éléments d’une même ligne du tableau.

i

j q q+1 · · · m

p a_p,q a_p,q+1 · · · a_p,m m X j=q

a_p,j

p+1 a_p+1,q a_p+1,q+1 · · · a_p+1,m m X j=q

a_p+1,j ..

. ... ... · · · ..

. ...

n an,q a_n,q+1 · · · an,m m X j=q

a_n,j

La somme des éléments de la famille Ã_m

X j=q

a_i,j

!

i∈‚p,nƒ

est n X i=p

Ã_m X j=q

a_i,j

!

et bien égale à la somme de tous les éléments du tableau,

autrement dit, Xn i=p

Ãm X j=q

a_i,j

!

= X

(i,j)∈‚p,nƒ×‚q,mƒ a_i,j.

ÏMéthode 2: on commence par sommer les éléments d’une même colonne du tableau.

i

j q q+1 · · · m

p a_p,q a_p,q+1 · · · a_p,m

p+1 a_p+1,q a_p+1,q+1 · · · a_p+1,m ..

. ... ... · · · .. . n an,q an,q+1 · · · an,m

Xn i=p

a_i,q Xn i=p

a_i,q+1 · · · Xn i=p

a_i,m

La somme des éléments de la famille à _n

X i=p

a_i,j

!

j∈‚q,mƒ

est m X j=q

à _n X i=p

a_i,j

!

et est bien égale à la somme de tous les éléments du tableau,

autrement dit, m X j=q

à n X i=p

a_i,j

!

= X

(i,j)∈‚p,nƒ×‚q,mƒ

a_i,j.

On peut résumer la proposition précédente à l’aide du tableau suivant :

i

j q q+1 · · · m

p a_p,q a_p,q+1 · · · a_p,m

m

X

j=q

a_p,j p+1 a_p+1,q a_p+1,q+1 · · · a_p+1,m

m

X

j=q

a_p+1,j ... ... ... · · · ... ... n a_n,q a_n,q+1 · · · a_n,m

m

X

j=q

a_n,j

n

X

i=p

a_i,q

n

X

i=p

a_i,q+1 · · ·

n

X

i=p

a_i,m

m

X

j=q n

X

i=p

a_i,j=

n

X

i=p m

X

j=q

a_i,j Remarque 6.13

Notation 6.1

SoientI etJdeux ensembles finis non vides d’entiers et (a_i,j)_(i,j)∈I×J une famille de nombres complexes.

ÏLorsque I = ‚p,nƒ et J= ‚q,mƒ avec pÉn et qÉm des entiers, la somme X

(i,j)∈‚p,nƒ×‚q,mƒ

a_i,j est notée X

pÉiÉn qÉjÉm

a_i,j.

ÏLorsqueI=J= ‚p,nƒavecpÉndes entiers, la somme X

(i,j)∈‚p,nƒ×‚p,nƒ

a_i,jest notée X

pÉi,jÉn

a_i,j.

Soitn∈N^?. Calculons X

1Éi,jÉn

(i+j)². Par linéarité de la somme, on a :

X

1Éi,jÉn

(i+j)²= X

1Éi,jÉn

i²+2i×j+j²= Ã

X

1Éi,jÉn

i²

! +2

à X

1Éi,jÉn

i×j

! +

à X

1Éi,jÉn

j²

! . Exemple 6.7