Ind´ecidabilit´e de la terminaison d’un syst`eme de r´e´ecriture.
Fr´ ed´ eric Valet 26 janvier 2015
Th´eor`eme 1. On d´efinit le probl`eme de terminaisonT ERM suivant : Entr´ee : Un syst`eme de r´e´ecritureR fini.
Sortie : Oui s’il est terminant.
Ce probl`eme est ind´ecidable.
D´emonstration. Premier temps : On consid`ere le probl`eme de terminaisonT ERM0 suivant : Entr´ee : Un syst`eme de r´e´ecritureR fini et un termet.
Sortie : Oui si toutes les r´e´ecritures possibles commen¸cant par tterminent.
Pour montrer que ce probl`eme est ind´ecidable, on va r´eduire le probl`eme de l’arrˆet `aT ERM0. Soit donc une instance : une machine de TuringM etK une configuration.
M est compos´ee :
— d’un alphabet Γ :={s0, s1,· · · , sn}fini, avecs0= #, le symbole blanc du ruban.
— D’un ensemble d’´etatsQ={q0,· · ·, qr} fini.
— De 2 symboles{l, r} pour la mani`ere de se d´eplacer sur le ruban.
— D’une fonction de transition finie : ∆⊂Q∗Γ∗Q∗Γ∗ {l, r}.
Soit l’alphabet ΣM :={−→s0,· · ·,−→sn,←s−n,· · · ,←s−0}SQS{−→
l ,←−r}, toutes ces fonctions ´etant d’arit´e 1. Soitxune variable ; on d´efinit les termes de configuration par :
t:=−→
l (−s→ik(· · ·(−s→i1(q(←s−j1(· · ·(←s−jl(←−r(x))· · ·).
Ce terme de configuration correspond `a la configuration suivante de la machine de TuringM : on est dans l’´etat q, et on a sur le ruban (la fl`eche correspondant `a la tˆete de lecture) :
# # sik · · · si1 sj1 · · · sjl # #
On remarque que pour une configuration, on peut ajouter de s0= # `a gauche et `a droite, ceci signifie que plusieurs termes de configurations peuvent correspondre `a la mˆeme configuration.
Les transitions correspondront `a notre syst`eme de r´e´ecriture. Soit (q, si, q0, sj, r) une transition. La r´e´ecriture associ´ee est :
— q(←s−i(x))→R−→sj(q0(x)).
— Sisi=s0 :q(←−r(x))→R−→sj(q0(←−r(x))).
Soit `a pr´esent une autre transition (q, si, q0, sj, l) :
— −→
l (q(←s−i(x)))→R
−
→l(q0(←s−0(←s−j(x)))).
— Pour tout k,−→sk(q(←s−i(x)))→Rq0(←s−k(←s−j(x))).
— Sisi= #, alors −→
l (q(←−r(x)))→R−→
l (q0(←s−0(←s−j(←−r(x))))).
— Sisi= #, alors pour toutk,−→sk(q(←−r(x)))→Rq0(←s−k(←s−j(←−r(x)))).
Puisque la fonction de transition est finie, le syst`eme de r´e´ecriture est lui aussi fini.
Lemme 2. SoitM une machine de Turing etR le syst`eme de r´e´ecriture associ´e. Alors
— Pour tout(t, t0)couple de termes de configurations,t`Rt0 impliqueKt`M Kt0.
— Pour tout (K, K0) couple de configurations, pour tout t terme tel que K =Kt, alors K `K0 implique qu’il existe un terme de configuration t0 tel que K0 =Kt0 ett`Rt0.
Cependant, la deuxi`eme affirmation n’est pas la r´eciproque de la premi`ere ! En effet, `a chaque configuration, on peut associer une infinit´e de termes de configuration.
Ceci montre qu’on a r´eduit le probl`eme de l’arrˆet au probl`emeT ERM0, o`u le terme d’une instance deT ERM0 est un terme de configuration.
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Second temps. On va r´eduire le probl`eme de l’arrˆet uniforme (´etant donn´ee une machine de Turing M, toutes les configurations terminent-elles ?) au probl`emeT ERM.
Soit donc une machine de TuringM, et on cr´ee de la mˆeme mani`ere que pr´ec´edemment un syst`eme de r´e´ecriture associ´eR. Cependant, tous les termes du nouveau langage cr´e´e ne sont pas forc´ement des termes de configura- tion !
Lemme 3. Soit un terme surΣM. Si on a une infinit´e de r´eduction t→Rt1→Rt2→R· · ·, alors il existe un terme de configurationt0 et une r´eduction infinie sur t0 commen¸cant avect0.
D´emonstration. Les symboles sont d’arit´e 1, on peut sans probl`eme enlever les parenth`eses. Pour un terme t=w(x), on va d´ecomposerwde la forme suivante :
w=u1v1u2v2· · ·uqvquq+1, o`uvj∈−→
Γ∗Q←−
Γ∗ etuj∈(−→ Γ ∪←−
Γ ∪ {−→
l ,←−r})∗, v´erifiant :
∀i∈[|1;q|] ,ui ne termine pas par−→sj,∀i∈[|2;q+ 1|] , ui ne commence pas par ←s−j. Dans cette d´ecomposition, tous lesq det se trouvent dans lesvj.
Affirmation 4. Siw(x)∈T(ΣM), soitw=u1v1u2v2· · ·uqvquq+1 la d´ecomposition d´efinie pr´ec´edemment. On suppose que w(x)→Rw0(x). Alors :
∃j∈[|1, q|] ,v0j∈−→ Γ∗Q←−
Γ∗ tels que w0=u1v1· · ·ujvj0uj+1· · ·uqvquq+1 et−→
l vj←−r(x0)→−→
l v0j←−r(x0).
Puisque le nombre deqdanswest fini, il existe unj tel qu’on ait une infinit´e de r´eductions sur−→
l vj←−r(x0).
Puisque−→
l vj←−r(x0) est un terme de configuration, cela prouve le lemme.
On a bien finalement une r´eduction de l’arrˆet uniforme versT ERM, etT ERM est ind´ecidable.
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