INSA TOULOUSE Ann´ ee 2011-2012 D´ epartement STPI
3` eme ann´ee MIC
UV Des donn´ ees aux mod` eles Partie - Probl` emes inverses
Mercredi 6 juin 2012 - 14 :00 ` a 15 :30
Le cours, les TD et les calculatrices sont autoris´ es. Le reste est interdit.
Le barˆ eme entre crochets est donn´ e ` a titre indicatif.
Dans tout l’examen, le produit scalaire canonique sur R
nest not´ e h·, ·i et la norme associ´ ee est not´ ee k · k. Les questions pr´ ec´ ed´ ees de *) sont plus compliqu´ ees et ne devraient ˆ etre r´ esolues que si vous avez une intuition de la marche ` a suivre. Le barˆ eme est donn´ e ` a titre indicatif et sera probablement relev´ e...
Exercice 1 - Probl` eme inverse bien et mal pos´ e (6,5 pts)
Soit A la matrice suivante :
A =
1 0 0 1 1 0
.
1. On consid` ere le probl` eme suivant :
Trouver x ∈ R
2tel que Ax = b avec b ∈ R
3. Est-ce que ce probl` eme est bien pos´ e ? D´ etaillez votre r´ eponse.
2. On consid` ere maintenant le probl` eme :
Trouver x ∈ R
2tel que Ax = b avec b ∈ E = vect
1 0 1
,
0 1 0
.
Est-ce que la solution de ce probl` eme existe ? Est unique ? Est stable pour des perturbations dans E de b ?
3. De fa¸ con g´ en´ erale, consid´ erons un probl` eme du type :
Trouver x ∈ R
ntel que Ax = b avec b ∈ E
o` u A ∈ M
m,n( R ) et E est un sous-espace vectoriel de R
m. A quelle condition sur E et sur A ce probl` eme admet-il une solution ?
4. Proposez une d´ ecomposition en valeurs singuli` eres de A.
Exercice 2 - Conditionnement et moindres carr´ es (10,5 pts)
Soit A ∈ R
m×nune matrice de rang n dont une SVD s’´ ecrit A = U ΣV
Tavec Σ = diag(σ
1, · · · , σ
n). Supposons que x minimise kAx − zk
2sur R
net soit r = Ax − z le r´ esidu correspondant. On perturbe la matrice A en A + δA et on note x + δx la nouvelle solution.
1. D´ eterminez les ´ equations satisfaites par x et par x + δx.
2. En utilisant la SVD de A, montrer que :
k(A
TA)
−1k = 1 σ
n2. 3. Montrez que kA
TAδxk ≥ σ
2nkδxk.
4. *) On pose κ(A) =
σσ1n
(le conditionnement de A). On admet que k(A
TA)
−1A
Tk =
σ1n
et que k(A + δA)
T(A + δA)δxk = kA
TAδxk + O kδAk
2. D´ eduire des questions pr´ ec´ edentes la majoration : kδxk
kxk ≤
κ(A) + κ(A)
2krk kAkkxk
kδAk
kAk + O(kδAk
2) 5. Que se passe-t-il si A est carr´ ee et inversible ?
1
Exercice 3 - Maximum A Posteriori (5,5 pts)
On consid` ere le probl` eme unidimensionnel suivant :
y = x + b.
Dans cette ´ equation x ∈ R est une quantit´ e qu’on souhaite connaˆıtre, y ∈ R est une quantit´ e mesur´ ee, et b ∈ R est un bruit de mesure. On suppose que x et b sont ind´ ependants. Le but de cet exercice est de retrouver x ` a partir de y par une technique de maximum a posteriori.
1. Si on n’a aucune connaissance a priori de la donn´ ee x et que b ∼ N (0, σ
b2), quelle est la solution la plus vraisemblable ?
2. On suppose que b, x et y sont des variables al´ eatoires de densit´ es de probabilit´ e gaussiennes respectives : p(b) ∝ exp
− b
22σ
2bet p(x) ∝ exp
− (x − a)
22σ
2x.
D´ eterminez l’estimation ˆ x au sens du maximum a posteriori de x, c’est-` a-dire : ˆ
x = arg max
x∈R
