Le clart´ e des explications sera appr´ eci´ ee. Sont autoris´ ees les notes individuelles de cours et de TD, ainsi que le polycopi´ e du cours.

(1)

Universit´ e Pierre et Marie Curie Cours de g´ eom´ etrie diff´ erentielle 4M022 M1 Math´ ematiques 2016-2017 H. Eynard-Bontemps, A. Oancea

Examen partiel du 27 octobre 2016 Dur´ ee : 3 heures

Le clart´ e des explications sera appr´ eci´ ee. Sont autoris´ ees les notes individuelles de cours et de TD, ainsi que le polycopi´ e du cours.

Le sujet consiste en une premi` ere partie compos´ ee de questions courtes, ind´ ependantes les unes des autres, et une deuxi` eme partie qui est un exercice.

Questions.

1. Une courbe γ : R Ñ M est dite p´ eriodique s’il existe T ą 0 tel que γ p t q “ γ p t ` T q pour tout t P R (dans ce cas on dit que γ est p´ eriodique de p´ eriode T ).

Soit M une vari´ et´ e. Montrer qu’une trajectoire γ : R Ñ M d’un champ de vecteurs complet X P X pM q est p´ eriodique de p´ eriode T si et seulement si γp0q “ γpT q.

2. Soient f : M Ñ N et g : N Ñ P des fonctions lisses entre vari´ et´ es. Soit p P M . D´ emontrer la relation dpg ˝ fqppq “ dgpfppqq ˝ df ppq en choisissant l’un des trois points de vue sur la diff´ erentielle vus en cours. [L’on admet, bien-sˆ ur, cette relation pour les ouverts d’espaces lin´ eaires.]

3. Soient M, N des sous-vari´ et´ es de R

ⁿ

. Supposons que M Ă N . D´ emontrer qu’alors M est une sous-vari´ et´ e de N .

Exercice (cylindre et champs de vecteurs sur le cylindre).

Consid´ erons le “cylindre droit” dans R

³

Z “ tpx, y, zq P R

³

: x

²

` y

²

“ 1u.

1. Montrer que Z est une sous-vari´ et´ e de dimension 2 de R

³

. 2. Montrer que Z n’est pas compacte.

3. Donner une param´ etrisation locale de Z au voisinage de chaque point.

4. Donner une param´ etrisation globale de Z par un ouvert de R

²

(un ouvert U Ă R

²

et un diff´ eomorphisme ψ : U Ñ Z).

5. (a) Donner une fonction lisse f : Z Ñ R n’ayant pas de points critiques.

(b) Calculer les points critiques de la fonction g : Z Ñ R d´ efinie par g p x, y, z q “ p x ´ 1 q

²

` y

²

` z

²

.

Dessiner sur Z trois ensembles de niveau tg “ R

²

u avec R ą 2, tg “ 4u, et t g “ r

²

u avec 0 ă r ă 2.

(c) Pour tout r ą 0, on note S

_r

la sph` ere de centre p1, 0, 0q et de rayon r. En donner une ´ equation cart´ esienne, et montrer que si r ‰ 2, Z X S

_r

est une sous-vari´ et´ e de dimension 1 de R

³

. Qu’en est-il si r “ 2 ?

1

(2)

6. Construire cinq champs de vecteurs X, X

¹

, Y , Z, T partout non-nuls d´ efinis sur Z tels que :

• toutes les courbes int´ egrales de X sont p´ eriodiques de mˆ eme p´ eriode.

• toutes les courbes int´ egrales de X

¹

sont p´ eriodiques mais n’ont pas toutes la mˆ eme p´ eriode.

• les trajectoires de flot de Y sont les droites verticales tx “ ct., y “ ct.u.

• aucune des trajectoires de flot de Z n’est p´ eriodique, mais la projection or- thogonale de toute trajectoire de Z sur le plan tz “ 0u est p´ eriodique non constante.

• le champ T poss` ede une trajectoire non-p´ eriodique dont l’image est contenue dans un compact de Z.

7. ´ Etant donn´ es deux champs de vecteurs X et Y comme ci-dessus, existe-t-il un diff´ eomorphisme ϕ P DiffpZq tel que ϕ

_˚

X “ Y ?

8. Soient p, q P Z deux points distincts. Donner deux diff´ eomorphismes de Z qui envoient p sur q, l’un qui soit ` a support compact et l’autre qui ne soit pas ` a support compact.

Le clart´ e des explications sera appr´ eci´ ee. Sont autoris´ ees les notes individuelles de cours et de TD, ainsi que le polycopi´ e du cours.

Universit´ e Pierre et Marie Curie Cours de g´ eom´ etrie diff´ erentielle 4M022 M1 Math´ ematiques 2016-2017 H. Eynard-Bontemps, A. Oancea

Examen partiel du 27 octobre 2016 Dur´ ee : 3 heures

Le clart´ e des explications sera appr´ eci´ ee. Sont autoris´ ees les notes individuelles de cours et de TD, ainsi que le polycopi´ e du cours.

Le sujet consiste en une premi` ere partie compos´ ee de questions courtes, ind´ ependantes les unes des autres, et une deuxi` eme partie qui est un exercice.

Questions.

1. Une courbe γ : R Ñ M est dite p´ eriodique s’il existe T ą 0 tel que γ p t q “ γ p t ` T q pour tout t P R (dans ce cas on dit que γ est p´ eriodique de p´ eriode T ).

Soit M une vari´ et´ e. Montrer qu’une trajectoire γ : R Ñ M d’un champ de vecteurs complet X P X pM q est p´ eriodique de p´ eriode T si et seulement si γp0q “ γpT q.

3. Soient M, N des sous-vari´ et´ es de R

. Supposons que M Ă N . D´ emontrer qu’alors M est une sous-vari´ et´ e de N .

Exercice (cylindre et champs de vecteurs sur le cylindre).

Consid´ erons le “cylindre droit” dans R

Z “ tpx, y, zq P R

: x

` y

“ 1u.

1. Montrer que Z est une sous-vari´ et´ e de dimension 2 de R

. 2. Montrer que Z n’est pas compacte.

3. Donner une param´ etrisation locale de Z au voisinage de chaque point.

4. Donner une param´ etrisation globale de Z par un ouvert de R

(un ouvert U Ă R

et un diff´ eomorphisme ψ : U Ñ Z).

5. (a) Donner une fonction lisse f : Z Ñ R n’ayant pas de points critiques.

(b) Calculer les points critiques de la fonction g : Z Ñ R d´ efinie par g p x, y, z q “ p x ´ 1 q

` y

` z

.

Dessiner sur Z trois ensembles de niveau tg “ R

u avec R ą 2, tg “ 4u, et t g “ r

u avec 0 ă r ă 2.

(c) Pour tout r ą 0, on note S

la sph` ere de centre p1, 0, 0q et de rayon r. En donner une ´ equation cart´ esienne, et montrer que si r ‰ 2, Z X S

est une sous-vari´ et´ e de dimension 1 de R

. Qu’en est-il si r “ 2 ?

1

6. Construire cinq champs de vecteurs X, X

, Y , Z, T partout non-nuls d´ efinis sur Z tels que :

• toutes les courbes int´ egrales de X sont p´ eriodiques de mˆ eme p´ eriode.

• toutes les courbes int´ egrales de X

sont p´ eriodiques mais n’ont pas toutes la mˆ eme p´ eriode.

• les trajectoires de flot de Y sont les droites verticales tx “ ct., y “ ct.u.

• aucune des trajectoires de flot de Z n’est p´ eriodique, mais la projection or- thogonale de toute trajectoire de Z sur le plan tz “ 0u est p´ eriodique non constante.

• le champ T poss` ede une trajectoire non-p´ eriodique dont l’image est contenue dans un compact de Z.

7. ´ Etant donn´ es deux champs de vecteurs X et Y comme ci-dessus, existe-t-il un diff´ eomorphisme ϕ P DiffpZq tel que ϕ

X “ Y ?

8. Soient p, q P Z deux points distincts. Donner deux diff´ eomorphismes de Z qui envoient p sur q, l’un qui soit ` a support compact et l’autre qui ne soit pas ` a support compact.

9. (Bonus) D´ emontrer que le quotient de Z par la relation d’´ equivalence engendr´ ee par px, y, zq „ p´x, ´y, zq, px, y, zq P Z

est une vari´ et´ e diff´ eomorphe ` a Z .

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