Faculté des Sciences Dhar El Mehrez Département de Mathématiques et Informatique Chapitre 3 Espaces topologiques connexes

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Facult´e des Sciences Dhar El Mehrez

D´epartement de Math´ematiques et Informatique

Chapitre 3

Espaces topologiques connexes

Abdelaziz Kheldouni

0.0.1 §III.1.Espaces topologiques connexes D´efinitions et exemples

D´efinition 1 : Un espace topologique X est dit connexe s’il n’existe pas de partition de X form´ee de deux ouverts non vides.

Un sous-ensembleAd’un espace topologiqueX est une partie connexe si le sous espace topologique (A, τ_A) est connexe.. Notons que les parties connexes du sous-espace topologiqueAsont celles deX contenues dansA.

Un domaine deX est une partie ouverte et connexe deX.

Exemples : 1) ∅ , {x} sont des connexes - X muni de la topologie grossi`ere est un espace connexe - 2) Si card(X)≥2 , l’espaceX muni de la topologie discr`ete n’est pas connexe.

Proposition 2 : Les assertions suivantes sont ´equivalentes : a)X connexe

b) Il n’existe pas de partitions de X formée de fermés non vides c) les seuls ouverts fermés de X sont l’ensemble vide et X.

d) Toute application continue f :X→ {0,1}est constante ”ici {0,1} est muni de la topologie discr`ete”.

Démonstration : a)⇒b) : Si X =F1∪F2 où F1 et F2 sont deux fermés disjoints de X alors on peut écrire X ={^F¹∪{^F² avec{^F¹ et {^F² deux ouverts disjoints , mais ceci est impossible carX est connexe

b)⇒c) : Soit A un ouvert fermé de X, son complémentaire {Â est aussi un ouvert fermé de X, et on a X =A∪{Â ce qui nous a permis d’écrireX comme union disjointe de deux fermés disjoints ; mais ceci n’est possible que siA=∅sinon{Â=∅. D’oùA=X ouA=∅.

c)⇒d) : Soit f : X → {0,1} continue. Puisque {0,1} est muni de la topologie discrète, {0} est alors un ouvert fermé de {0,1}; commef est continue,f⁻¹({0}) est un ouvert fermé deX qui vérifie c) donc ou bien f⁻¹({0}) =∅et dans ce casf(x) = 1 pour toutx, sinonf⁻¹({0})6=∅et on aura nécessairementf⁻¹({0}) =X c’est à diref(x) = 0 pour toutx.

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d)⇒a) : Supposons que X =O1∪O2 avec O1 et O2 deux ouverts disjoints de X. Supposons O1 6=∅ et consid´erons son application caract´eristiqueχ_O₁ :X → {0,1}, elle est continue car surO₁c’est 1 et surO₂c’est 0. χ_O₁ est donc constante, et commeO₁6=∅ , alorsO₂=∅.

Proposition 3 : Les parties connexes de Rsont les intervalles.

D´emonstration : Soit A une partie connexe de R; le probl`eme est de montrer que ∀ a, b∈ A , a ≤b , on a [a, b]⊂A. Supposons alors le contraire, il va donc existeraetb dansAtels que [a, b] n’est pad inclus dansA;

c’est `a dire qu’il y a unc∈[a, b] qui n’est pas dansA. Mais dans ce cas,{]− ∞, c[∩A, ]c,+∞[∩A}serait une partition ouverte de Ace qui est absurde avecA connexe.

Inversement, soitI=|a, b|un intervalle deR. On peut supposera < bcar si on a l’´egalit´e alorsI serait∅ ou{a}et donc connexe.

Soit f :I→ {0,1} une application continue, il s’agit de montrer qu’elle est constante. Considèrons pour cela l’ensembleE={x∈[a, b] / f(x) =f(a)}c’est évidement une partie non vide et fermée de [a, b] c’est aussi un ouvert de [a, b] carE= [a, b]∩f⁻¹(f(a)) . Soitc= supE ∈E=E; alorsc=b sinon, commeE est un ouvert de [a, b], il serait un voisinage dec et donc∃ ε >0 tel que ]c−ε, c+ε[⊂E mais ceci contredit le fait que c soit une borne supérieure.

Propri´et´es des espaces connexes

Proposition 4 : L’image d’un espace connexe par une application continue φ : X → Y est un sous-espace connexe de Y;

D´emonstration : Soit f : φ(X) → {0,1} une application continue; f◦ φ est alors continue et comme X est connexe, on d´eduit quef◦ φest constante et doncf est constante.

Comme conséquences immédiates de ce qui précède on a :

- Tout espace topologique homéomorphe à un espace connexe est connexe. La connexité est une propriété topologique

- L’image d’un espace connexe X par une application continueX →Rest un intervalle.

Proposition 5 : La r´eunion X d’une famille d’espaces connexes (X_i)_i∈I est un espace connexe dans les deux cas suivants :

1- Les espaces Xi sont deux `a deux non disjoints.

2-I=N et pour tout i∈I, Xi∩Xi+16=∅

D´emonstration : (1) Soitf : X → {0,1} une application continue. Pour tout i ∈ I , f |X_i Xi → {0,1} est continue, donc constante surXi . Soitαila valeur def surXi. Comme pour touti6=j ,Xi∩Xj6=∅, il existe unx∈Xi∩Xj tel que f(x) =αi =αj doncf est constante surX.

(2) se d´emontre de fa¸con analogue.

Exemple :

Toute ligne polygonale L= ∪^p

i=1[ai, ai+1] deRⁿ est connexe.

Attention : l’intersection de deux parties connexes n’est pas toujours connexe.

Proposition 6 : 1) Si Aest une partie connexe de X alors son adh´erence Aest connexe.

2) Si X contient une partie connexe partout dense alors X est connexe 3) Si A⊂B ⊂A avec Aconnexe, alors B est connexe.

Démonstration : (1) Supposons queA=F1∪F2 oùFet F2sont deux fermés disjoints deA; alors nous avons:

A = (A∩F1)∪(F2∩A) mais comme A est connexe, on aura (A∩F1) = ∅ ou bien (F2∩A) = ∅ et donc (F2∩A) =Aou bien (A∩F1) =A. Nous aurons alorsA⊂Fi(i= 1 ou 2), et donc A=Fi ce qui entraine que l’autre ferm´e est vide.

(2) C’est imm´ediat

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(3) Dans le sous-espace topologique (B, τB),A est une partie connexe donc l’adh´erence deAdansB not´ee A ^B est connexe, mais alorsA^B =A∩B=B.

Remarque 7 : 1) L’intérieur d’une partie connexe n’est pas toujours connexe, en effet, dans R² l’union de deux disques fermés et tangents est connexe mais son intérieur est la réunion disjointe de deux boules ouvertes.

2) La fronti`ere d’une partie connexe n’est pas toujours connexe, pour s’en convaincre il suffit de prendre un intervalle deR.

Proposition 8 : Soit (Xi)i∈I une famille d’espaces topologiques et X= Π

i∈IXi l’espace topologique produit. X est connexe si et seulement si pour tout i∈I ,X_i est connexe.

Démonstration : Si X est connexe alors pour tout i∈ I , Xi est connexe car c’est l’image de X par la i^`ême projection pri qui est continue. Réciproquement, soitf :X → {0,1}−(discret) une application continue. Soit a= (ai) un point fixé dansX le problème est de montrer que pour toutx= (xi)∈X , nous avonsf(x) =f(a).

Consid´erons pour cela l’ensembleA={x= (xi)∈X / xi=ai sauf pour un nombre fini d’indicesi}on a : A=X (voir proposition 5,§II.2). Maintenant, il suffit pour conclure de montrer queAest connexe.

Soitx= (xi)∈A tel que xi =ai pour tout i 6=j , l’application partielle fj =f ◦sj étant constante sur Xj (car connexe), on déduit quefj(xj) =fj(aj) , c’est à diref(x) =f(a) ; par conséquent en échangeant une coordonnée deaon ne modifie pas f(a). Il en résulte que si on modifie un nombre fini de composantes dea, f(a) reste constante; doncf est constante sur A.

0.0.2 §III.2.Composantes connexes Définitions et propriétés.

D´efinition 1 : Deux points de X sont connect´es s’il existe une partie connexe de X qui les contient.

Par exemple siX est connexe, tous ses points sont connect´es.

Proposition 2 : Dans X la relationeux ”x∼y⇔xet y xont connectés ” est une relation d’équivalence. La classe de xest notée C(x). C’est la plus grande partie connexe de X contenant x.

D´emonstration : Montrons que pour tout x ∈ X , C(X) est la plus grande partie connexe contenant x.

Consid´eronsE={A⊂X / Aconnexe etx∈A} ; c’est un ensemble non vide car il contient d´eja{x}.

SoitE = ∪

A⊂EA;Eest connexe carx∈ ∩

A∈EA, de plus tous les points deEsont connect´es `ax; doncE ⊂C(X).

Par ailleurs, pour touty∈C(X), il existeA∈E tel quexety ∈Aet doncy∈ E et doncC(X)⊂ E.

C(x) est appel´ee la composante connexe dex; c’est donc la plus grande partie connexe deX contenant x.

Les composantes connexes d’un esapce topologiqueX sont celles de ses points.

L’espaceX est dit totalement discontinue si pour toutx∈X ,C(x) ={x}.

Notons que les composantes connexes de X forment une partition de X , ce sont en effet les classes d’´equivalences. Dire queX est connexe revient `a dire queX n’a qu’une seule composante connexe.

Exemples :

1) SiX est muni de la topologie discr`ete, alors il est totalement discontinu car toute partie deX dont le cardinal d´epasse 1 n’est pas connexe

2) Le sous-espace Q de Rest totalement discontinu car toute partie A non vide connexe de Q reste connexe dansR,Aest alors un intervalle contenu dans Qc’est donc un singleton.

Proposition 3 : a) Les composantes connexes de (X, τX)sont fermées. En général elles ne sont pas ouvertes b) Si f : X →X⁰ est une application continue, alors pour tout x∈X, f(C(x))⊂C(f(x)). Si f est un homéomorphisme, alors f(C(x)) =C(f(x)).

c) Soit x= (x)ii∈I ∈X= ΠXi on a : C(x) = ΠC(xi)

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Démonstration : (a) : Pour toutx∈X,C(x) est connexe, et d’aprés§III.1 Proposition 6, son adhérenceC(x) est aussi connexe. Comme elle contientxalorsC(x)⊂C(x). D’où l’égalité. C(x) n’est pas en générale ouverte;

par exemple, siX =Qmuni de la topologie induite par celle deR, on aC(x) ={x} qui n’est pas un ouvert de Q.

(b) : C’est imm´ediat carf(C(x)) est un connexe qui contientf(x). Si en plusf est un hom´eomorphisme, f⁻¹est continue doncf⁻¹(C(f(x)))⊂C(x) d’ouf(f⁻¹(C(f(x))))⊂f(C(x)), i.e : C(f(x))⊂f(C(x)).

(c) : Comme les projections pri sont continues, alors pour tout x = (xi), pri(C(x)) ⊂ C(xi), donc C(x)⊂ΠC(xi). Inversement, pour tout i∈I,C(xi) est connexe, donc ΠC(xi).est un connexe qui contient x, donc.ΠC(xi).⊂C(x).

Remarque : 1) D’aprés (b) de la proposition ci-dessus, le nombre de composantes connexes est un invariant topologique. Il mesure ”le degré” de non connexité de l’espace.

2) Le produit d’espaces totalement discontinus est un espace totalement discontinu.

Espaces localement connexes

D´efinition 4 : Un espace topologique (X, τX)est localement connexe, si tout point xde X admet un syst`eme fondamental sf(x) de voisinages connexes.

Ceci revient `a dire que ∀x∈X , et∀V ∈v(x) ,∃ ω un voisinage connexe dextel queω⊂V Exemples :

-X muni de la topologie grosi`ere est localement connexesf(x) =X -X muni de la topologie discr`etesf(x) ={x}

- Tout ouvert deRⁿ.

Proposition 5 : 1) L’int´erieur d’une partie localement connexe est localement connexe.

2) La connexité locale est une propriété topologique

D´emonstration : (1) Soit A une partie localement connexe, et x ∈ A, tout voisinage^◦ V de x dans A^◦ est un voisinage dexdansA, il va donc exster un voisinage connexeωdexcontenu dansV, maisV ⊂A, donc^◦ A^◦ est localement connexe.

(2) Soit f : X → X⁰ un hom´eomorphisme d’un espace localement connexe X sur X⁰ . ∀ y ∈ X⁰, et ∀ V ∈ v(y), f⁻¹(V)∈v(x) ”x=f⁻¹(y)” maisX est localement connexe, donc il existe un voisinage connexe ω de x tel que, ω ⊂f⁻¹(V) , mais ceci entraine que f( ω) ⊂ V, et comme f est un hom´eomorphisme f( ω) est voisinage connexe dey.

Remarque :

- Ni l’adhérence, ni la frontière d’une partie localement connexe ne sont généralement localement connexes. Par exemple :

A = {1,¹₂,· · ·,_n¹,· · ·} est un sous-espace discret de R , il est donc localement connexe. Son adh´erence A = A∪ {0} n’est pas localement connexe; en effet, aucun voisinage V de 0 dans A n’est connexe, puisqu’il existe un indicensuffisament grand pour que _n¹ ∈V ; et₁

n est un ouvert fermé non vide et différent deV. - Un espace localement connexe n’est pas nécessairement connexe

- L’image par une application continue d’un espace localement connexe n’est pas toujours localement connexe.

prendre par exempleX =N, etA={0,1,¹₂,· · ·,_n¹,· · ·}muni de la topologie induite par celle deRetf :X →A qui `a n6= 0 associef(n) = ¹_n et f(0) = 0. L’espace discretX est localement connexe,f est continue, maisA n’est pas localement connexe.

Proposition 6 :mathbf Un espace topologhique (X, τX) est localement connexe si et seulement si les composantes connexes de tout ouvert de X sont ouvertes.

D´emonstration : Supposons X localement connexe, et soit U ∈ τ_X.Notons C_U(x)la composante connexe de Ucontenantx∈U. Soity∈C_U(x)on a bien sur,U ∈v(y), et commeXest localement connexe, il va exister un voisinage connexeV⁰ ∈v(y)tel queV⁰ ⊂U, et alors on aV⁰⊂C_U(y) =C_U(x); doncC_U(x)∈v(y).

(5)

R´eciproquement, Soit x∈ X, V ∈v(x), et A=C^◦

V(x). Aest un ouvert, doncAest un voisinage de x, de plusAest un connexe contenu dans VdoncXest localement connexe.

0.0.3 §III.3. Espaces connexes par arcs

Définition 1 :mathbf Soient (X, τX) un espace topologique, et x, y∈X . Un chemin d’extrémités x, ydans X est une application continue γ: [0,1]→X telle que γ(0) =xet γ(1) =y.

Un espace X est dit localement connexe par arcs si tout point de X poss`ede un syst`eme fondamental de voisinages cinnexes par arcs.

Exemples :

1) Tout ensembleX muni de la topologie grossi`ere est connexe par arcs.

2) Tout sous-espace convexe deRⁿ est connexe par arcs.

3) Tout ensemble X muni de la topologie discr`ete est localement connexe par arcs, en effet on prend pour syst`eme fondamental de voisinages dex∈X : s(x) ={{x}}.

Proposition 2 : L’image d’un espace connexe par arcs par une application continue est connexe par arcs.

D´emonstration : C’est imm´ediat

Proposition 3 : Tout espace topologique (X, τ_X)connexe par arcs.est connexe

Démonstration: Soitx0∈X, pour toutx∈Xil existe un chemin continueγxdex0àx. Posons Γx=γx([0,1]) . C’est une partie connexe deX qui contientx0et x, doncxetx0sont connectés. Ainsi tout pointxdeX est connécté àx0, ce qui revient à dire queC(x0) =X . DoncX est connexe.

La r´eciproque de cette proposition n’est pas vraie. Il existe des espaces qui sont connexes sans ˆetre connexes par arcs. ExempleA={(x,sin_x¹) 0≤x≤1} est un espace connexe qui n’est pas connexe par arcs.

Une composante connexe par arcs d’un espaceX est un sous-espace connexe par arcs maximal de X.

D´efinition 4 : Un espace topologique (X, τ_X)est localement connexe par arcs, si tout point xde X admet un syst`eme fondamental sf(x)de voisinages connexes par arcs.

Exemples :

-X muni de la topologie discr`etesf(x) ={x}

- Le produit de deux espaces localement connexes par arcs est connexe par arcs.

- Tout ouvert deRⁿ.

Proposition 5 : Dans un espace localement connexe par arcs, chaque composante connexe par arcs est ouverte.

D´emonstration : Supposons X localement connexe par arcs, et C(x) la composante connexe par arcs de X contenantx∈X. Soity∈C(x) , comme X est localement connexe par arcs, il va exister un voisinage connexe par arcs V⁰∈v(y) tel queV⁰⊂X, et alors on aV⁰ ⊂C(y) =C(x); doncC(x)∈v(y).

Proposition 6 : Un espace connexe et localement connexe par arcs est connexe par arcs.

D´emonstration : En effet chaque composante connexe par arcs est ouverte , donc aussi ferm´ee