Universit´e de Rouen Facult´e des Sciences
Licence de Math´ematiques. Topologie 1993-1994 T.D. de TOPOLOGIE - Fiche No 7 : CONNEXIT ´E
Exercice 1 :L’ensembleX =
a, b, c est-il connexe pour les topologies : T1=
∅,{b},{b, c}, X etT2=
∅,{b},{c},{a, c},{b, c}, X ? D´eterminer les composantes connexes deX pour ces topologies.
Exercice 2 :L’ensembleX =
a, b, c, d, e est-il connexe pour les topologies : T =
∅,{a},{c, d},{a, c, d},{b, c, d, e}, X ? Le sous-espace{b, d, e}est-il connexe ? Quelles sont les composantes connexes des points de X?
Exercice 3 :Les espaces suivants sont-ils connexes : un espace discret, un espace grossier, un espace cofini, un espace s´epar´e ayant un point isol´e, une partie finie d’un espace s´epar´e ? D´eterminer les composantes connexes deQ,R∗,Q×Rpour la topologie usuelle.
Exercice 4 :On suppose (X,T) connexe et une topologieT0⊂ T. (X,T0) est-il connexe ?
Exercice 5 : Soit A une partie connexe d’un espace topologique X. Les parties suivantes sont-elles connexes : A, F r(A) , ˚A ? ( consid´erer dans R2 la r´eunion de 2 disques ferm´es tangents ).
Exercice 6 :SoientAune partie deX etB un sous-espace connexe deX qui rencontreAet Ac. Montrer que B rencontre la fronti`ere deA. En d´eduire que dans un espace m´etrique E non born´e et connexe, les sph`eresS(x, r) =
y ∈E/d(x, y) =r ,r >0, sont non vides.
Exercice 7 :SoientAet B deux parties non vides d’un espace topologiqueX.
a) On supposeA et B connexes. A∩B est-il connexe ? Si de plus A∩B 6=∅, montrer queA∪B est connexe.
b) On suppose queA et B sont ferm´es et que A∪B et A∩B sont connexes. A l’aide d’un exemple surR, montrer que la conclusion n’est plus valable siAouB n’est pas ferm´e.
Exercice 8 : Soient X un espace topologique, Y un espace topologique discret et f une application continue de X dans Y. Montrer que f est constante sur chaque composante connexe deX. En d´eduire queX est non connexe si et seulement si il existe une surjection continue deX sur{0,1} discret.
Exercice 9 :Montrer que toute partie deX `a fois ouverte et ferm´ee contient la composante connexe de chacun de ses points. Montrer que si X a un nombre fini de composantes connexes, celles-ci sont `a la fois ouvertes et ferm´ees dansX, et que la r´eciproque est vraie siX est compact.
Exercice 10 :Soit (An)n∈
N une suite d´ecroissante de parties compactes connexes non vides d’un espace topologiqueX. Montrer queA= \
n∈N
An est un compact connexe non vide.
Exercice 11 :Soit (X, d) un espace m´etrique.
a) Soientx∈X et ε >0 ; on pose : Γx,ε=
y∈X / il existe uneε-chaine dex`ay . Montrer que Γx,ε est ouvert et ferm´e dansX.
b) On suppose queXest compact et soit Γx=T
ε>0Γx,ε. Montrer que Γx, la composante connexe de x et l’intersection des parties ouvertes et ferm´ees contenant x, sont identiques.
c) SiX est localement compact, montrer l’´equivalence des propositions suivantes : (i) pour toutxdeX la composante connexe deX est{x}.
(ii) tout point deX admet une base de voisinages ouverts et ferm´es.
Exercice 12 :Montrer queX =n
x,sinx1
/ x∈]0,1]o
∪
{0}×[−1,1]
est un sous-espace compact et connexe deR2. Est-il localement connexe ?
CONNEXIT ´E PAR ARC
D´efinition :Soitx0,x1/inX. On dit queγ est une courbe dansX reliantx0 etx1 s’il existe aetb r´eels tels queγsoit une application continue de [a, b] dansX v´erifiantγ(a) =x0et γ(b) =x1. L’espace est ditconnexe par arcsi pour tousx0etx1 deX, il existe une courbe dansX reliantx0 `ax1.
Exercice 13 : Montrer que siX est connexe par arc, alors X est connexe. En d´eduire que l’ensembleAdes points deR2ayant au moins une coordonn´ee rationnelle est connexe.
Exercice 14 :Montrer que tout ouvert connexe deRn(plus g´en´eralement d’un espace vectoriel norm´e) est connexe par arc. Cela reste-t-il vrai pour un connexe quelconque ? (voir ex. 12)
Exercice 15 :SoientX etY deux espaces connexes,Aune partie propre deX (i.e. non vide et diff´erente deX ) etB une partie propre deY.
Montrer que (A×B)c est connexe dansX×Y.
Application : dansRn,n >1, le compl´ementaire d’un pav´e born´e est connexe.
