Universit´e Claude Bernard Lyon 1 PCSI UE Math2
Printemps 2013 Responsable : Johannes Kellendonk
FICHE TD 6 - INTEGRALES MULTIPLES
Exercice 1 Calculer l’int´egrale multiple Z
D
xy dxdy avec D= [0,1]×[0,1].
Exercice 2 D´eterminer l’aire de la partie du plan d´elimit´ee par les courbes d’´equation y=x ety2 =x.
Exercice 3 a) CalculerR
D(x−y) dxdy, o`uDest la partie du plan d´elimit´ee par les droites d’´equation : x= 0, y=x+ 2, y=−x.
b) Calculer la mˆeme int´egrale au moyen du changement de variables d´efini par : u=x+y, v=x−y.
Exercice 4 Soit D le quart de disque unit´e d´efini par : D=©
(x, y)|0≤x, 0≤y, x2+y2 ≤1ª . Utiliser le passage en coordonn´ees polaires pour calculer l’int´egrale :
Z
D
(4−x2−y2) dxdy.
Exercice 5 D´eterminer le centre de gravit´e d’un demi-disque homog`ene de rayon 1.
Exercice 6 D´eterminer le centre de gravit´e de la surface plane homog`ene d´elimit´ee par la parabole d’´equation y = 6x−x2 et la droite d’´equationy=x.
Exercice 7 Calculer la masse totale du cube D= [0,1]×[0,1]×[0,1] deR3 ayant une densit´e volumique µ donn´ee parµ(x, y, z) =x2y+xz2.
Exercice 8 Calculer le volume de la boule B de rayon 1 de R3, en partant de l’int´egrale Z
B
1 d3~x
et en utilisant les coordonn´ees sph´eriques.
Exercice 9 Calculer le volume du domaine Dd´efini par l’intersection d’une sph`ere de rayonR >0 et d’un cylindre de r´evolution de rayon R0 >0, avecR0 < R, ayant pour axe un diam`etre de la sph`ere.
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