MPSI B DM 3 2005-2006 29 juin 2019
Dans tout l'exercice, les solutions cherchées sont des fonctions à valeurs réelles. Cela n'interdit pas la considération de fonctions à valeurs complexes comme intermédiaire de calcul.
On étudie l'équation fonctionnelle
y00(x) +y(−x) =x+ cosx (1)
1. Soity1 ety2 deux solutions de l'équation
y00(x) +y(−x) = 0
etλun réel quelconque ;y1+y2etλy1sont ils encore solutions de la même équation ? 2. Résoudre les équations suivantes en précisant pour chacune l'ensemble des solutions
paires et impaires.
y00(x) +y(x) = cosx (2)
y00(x)−y(x) =x (3)
3. question de cours
Soitf une fonction dénie dansR, montrer qu'il existe un unique couple de fonctions (u, v)telles queusoit paire, v soit impaire etf =u+v. On prendra soin de rédiger séparément les argumentations assurant l'existence et l'unicité. On dit que u est la partie paire etv la partie impaire def.
4. Soitf une solution de (1),usa partie paire etvsa partie impaire. Former une équation diérentielle dontuest solution, former une équation diérentielle dontvest solution.
5. Préciser l'ensemble des solutions de (1).
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai M0503E
