L2 Math´ematiques, Informatique Epreuve de Janvier 2007 Les t´el´ephones portables et les calculettes sont interdits 1. Etudier la nature des s´eries de termes g´en´eraux : •

L2 Math´ ematiques, Informatique Epreuve de Janvier 2007

Les t´ el´ ephones portables et les calculettes sont interdits

1. Etudier la nature des s´ eries de termes g´ en´ eraux :

• ^(3n)! _(n!)

; ¹

n

; ^√ _{n−2 ln(n)} ⁽⁻¹⁾

.

2. Donner les d´ eveloppements en s´ eries enti` eres au voisinage de 0 des fonctions ln( ^{q 1+x} _1−x ) et ^R ₀ ^{x e}

⁻¹ _t dt en pr´ ecisant le rayon de convergence.

3. Donner les rayons de convergence et la somme des s´ eries enti` eres :

• ^P _n≥0 (4n + 1)x ⁴ⁿ ; ^P _n≥0 ⁽⁻¹⁾ _(2n)!

^a

x ²ⁿ⁺¹ . ^P _{n≥0 4n} ⁽⁻¹⁾

−1

x ²ⁿ . 4. Les int´ egrales suivantes sont elles convergentes :

Z +∞

1

e ⁻

√

ln(t) dt;

Z 1 0

√ t ln(1 + t) dt

5. Soit P n l’espace vectoriel des polynˆ omes ` a coefficients r´ eels de degr´ e inf´ erieur ou ´ egal

`

a n. Donner sa dimension.

On consid` ere l’application lin´ eaire de P <sub>n</sub> dans R qui envoie P ∈ P <sub>n</sub> sur P (0). Quelle est la dimension de son noyau, que l’on notera K. On consid` ere l’application lin´ eaire de P _n dans R qui envoie P ∈ P _n sur P ⁰ (0). Quelle est la dimension de son noyau, que l’on notera K ⁰ .

Quelle est la dimension de K ∩ K ⁰ ? Trouver un suppl´ ementaire de K ∩ K ⁰ dans P n aussi simple que possible.

6. Soit la matrice A :







2 −1 1

1 0 1

2 −2 2







6.1. Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de cette matrice.

6.2. D´ eterminer les sous-espaces caract´ eristiques. En d´ eduire une base de jordanisation (i.e. une base dans laquelle A triangularise sous forme de Jordan).

6.3. Calculer A ⁿ pour tout entier n, n ≥ 0.

7. Enoncer une condition n´ ecessaire et suffisante paortant sur une matrice A pour qu’elle soit diagonalisable. Soit la matrice ` a coefficients complexes :







2 0 0

a ² + 1 2 0 c ab a







Donner une condition n´ ecessaire et suffisante sur les param` etres a, b et c pour qu’elle soit diagonalisable.

1