L2 Math´ematiques, Informatique Epreuve du 18 Novembre 2004

L2 Math´ ematiques, Informatique Epreuve du 18 Novembre 2004

Les t´ el´ ephones portables et les calculettes sont interdits

1. Etudier la nature des s´eries de termes g´en´eraux :

•

;

•

;

•

;

• 1 − cos(

);

• e

;

•

.

2. Ecrire la d´ecomposition en ´el´ements simples de

−1)²(2x−1)

. Puis ´ecrire le d´eveloppement en s´erie enti`ere (au voisinage de z´ero) en pr´ecisant le rayon de convergence.

3. Soit x ∈ R. Montrer que pour | x | ≤ 1 la s´erie de fonctions de terme g´en´eral

converge. Qu’en est il pour | x | > 1?

Calculer au moyen de fonctions usuelles la somme de la s´erie des fonctions d´eriv´ees.

Calculer la somme de la s´erie.

4.

• Calculer la somme

(2n)!

pour x ≥ 0;

• Calculer la somme

(2n)!

pour x ≤ 0.;

• montrer que la fonction f de R dans R d´efinie par f ( x ) = ch ( √ x ) si x ≥ 0, f (x) = cos( √

− x) si x < 0 est ind´efiniment d´erivable en tout point.

5. Les int´egrales suivantes sont elles convergentes :

•

(sint)²ln(t)

√t²+1

dt;

•

e

(cos t )

dt .

6. Pour quelles valeurs de α l’int´egrale suivante est elle convergente :

•

t

e

dt .

1