Epreuve de Math´ ´ ematiques
La clart´e des raisonnements et la qualit´e de la r´edaction interviendront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.
L’usage d’un instrument de calcul et du formulaire officiel de math´ematiques est autoris´e.
Exercice 1
11 pointsOn consid`ere un syst`eme «entr´ee-sortie» dans lequel le signal d’entr´ee est repr´esent´e par une fonction e et celui de sortie par une fonction s.
Une fonction d´efinie sur R est dite causale si elle est nulle sur l’intervalle
− ∞, 0 . Les fonctions e et s sont des fonctions causales et on suppose qu’elles admettent des trans- form´ee de Laplace not´ees E et S.
On rappelle que la fonction ´echelon unit´e est d´efinie sur R par : U :
(U(t) = 0 sit <0 U(t) = 1 sit>0
1) La fonction de transfertH du syst`eme est d´efinie par : S(p) =H(p)×E(p) On suppose, dans le cadre de cette ´etude, que : H(p) = 1
1 + 2p et e(t) = U(t) a) D´eterminer S(p)
b) D´eterminer les nombres r´eels α et β tels que : S(p) = α
p + β p+12 c) En d´eduire s(t)
2) On se propose d’approcher la fonction de transfert analogique H par la fonction de transfert num´erique F telle que : F(z) =H
101−z−1 1 +z−1
=H
10z−10 z+ 1
L’entr´ee et la sortie du syst`eme num´erique sont mod´elis´ees respectivement par deux signaux causaux discretsx et y, admettant des transform´ees en Z not´ees respectivement X etY.
On se place dans le cas o`u le signal d’entr´ee du syst`eme analogique est U(t).
Le signal d’entr´ee du syst`eme analogique est ´echantillon´e au pas de 0,2
Ainsi, le signal d’entr´ee x du syst`eme num´erique est d´efini par x(n) = U(0,2n) pour
a) Montrer que F(z) = z+ 1 21z−19 b) D´eterminer X(z)
c) V´erifier que Y(z) = z
z−1 −20 21
z z−1921
En d´eduire l’expression de y(n), pour tout nombre entier naturel n.
3) Compl´eter, sur l’annexe, `a rendre avec la copie, le tableau en donnant des valeurs approch´ees `a 10−3 pr`es des r´esultats demand´es.
La m´ethode utilis´ees dans l’exercice 1, pour discr´etiser le syst`eme analogique, est souvent appel´ee transformation bilin´eaire.
Dans le cadre de l’exemple ´etudi´e, nous observons que cette transformation pr´eserve la stabilit´e du syst`eme et que les signaux de sortie analogique et num´erique convergent vers la mˆeme limite.
Exercice 2
9 pointsDans ce probl`eme, on approche un signal `a l’aide d’une fonction affine par morceaux.
On d´esigne par E un nombre r´eel de l’intervalle 0, 3
.
On consi`ere la fonction f d´efinie sur R, paire, p´eriodique dep´eriode 5, telle que :
f :
f(t) =E×t si 06t <1 f(t) = (3−E)t+ 2E−3 si 16t <2
f(t) = 3 si 26t6 5
2
Partie A
Dans cette partie, et uniquement dans cette partie, on se place dans le cas o`uE = 2.
1) Pr´eciser l’´ecriture de f(t) sur les intervalles 0 1
, 1et2
, 2, 5
2 . 2) Repr´esenter graphiquement la fonctionf sur l’intervalle
−5, 10 .
Partie B
Dans cettepartie, on se place dans le cas g´en´eral, c’est `a dire dans le cas o`u la valeur de E n’est pas sp´ecifi´ee.
On appelle S la s´erie de Fourier associ´ee `a la fonction f.
On note S(t) =a0+
+∞
X
n=1
ancos2nπ 5 t
+bnsin2nπ 5 t
1) Montrer que la valeur moyenne de la fonction f sur une p´eriode est a0 = 2E+ 3 5 2) D´eterminer bn pour tout nombre entier naturel n sup´erieur ou ´egal `a 1.
3) a) Montrer que pour tout nombre entier naturel n sup´erieur ou ´egal `a 1 : Z 1
0
tcos2nπ 5 t
dt = 5
2nπ sin2nπ 5
+ 25 4n2π2
cos2nπ 5
−1
b) On a calcul´e les int´egrales Z 2
1
f(t) cos2nπ 5 t
dt et Z 52
2
f(t) cos2nπ 5 t
dt On a ainsi obtenu pour tout nombre entier naturel n sup´erieur ou ´egal `a 1 :
Z 52
0
f(t) cos2nπ 5 t
dt= 25 4n2π2
(3E−3) cos2nπ 5
+ (3−E) cos4nπ 5
−E
En d´eduire que pour tout nombre entier naturel n sup´erieur ou ´egal `a 1 : an= 5
n2π2
(3E−3) cos2nπ 5
+ (3−E) cos4nπ 5
−E
4) Pour tout nombre entier naturel n sup´erieur ou ´egal `a 1, on appelle un l’harmonique de rang n.
On a alors un(t) = ancos2nπ 5 t
+bnsin2nπ 5 t
pour tout nombre r´eel t.
a) Montrer qu’au rang 5, u5(t) est nul pour tout nombre r´eel t.
b) On appelle E0 la valeur de E pour laquelle l’harmonique de rang 3 est nulle, c’est `a dire la valeur de E telle que u3(t) est nul pour tout nombre r´eel t.
D´eterminer la valeur exacte, puis la valeur approch´ee `a 10−3 pr`es, deE0.
Annexe
Document-r´ eponse ` a rendre avec la copie
n y(n) t = 0,2n s(t)
0 0
1 0,2
5 1
10 2
15 3
20 4
25 5
50 10
Corrig´ e de l’´ Epreuve de Math´ ematiques
Exercice 1
11 points1) La fonction de transfertH du syst`eme est d´efinie par : S(p) =H(p)×E(p) On suppose, dans le cadre de cette ´etude, que : H(p) = 1
1 + 2p et e(t) = U(t) a) D´eterminer S(p) On a E(p) = 1
p et donc : S(p) = (p) = 1
1 + 2p × 1 p
b) D´eterminer les nombres r´eels α et β tels que : S(p) = α
p + β p+12 S(p) = (p) = 1
1 + 2p ×1 p = 1
p − 2
2p+ 1 = 1
p + −1
p+12 et donc : α = 1 et β =−1 c) En d´eduire s(t) On a donc : s(t) =
1−e−
t2 U(t)
2) On se propose d’approcher la fonction de transfert analogique H par la fonction de transfert num´erique F telle que : F(z) =H
101−z−1 1 +z−1
=H
10z−10 z+ 1
On se place dans le cas o`u le signal d’entr´ee du syst`eme analogique est U(t).
Le signal d’entr´ee du syst`eme analogique est ´echantillon´e au pas de 0,2 Les transform´ees en Z des signaux xet y v´erifient Y(z) =F(z)×X(z)
a) Montrer que F(z) = z+ 1
21z−19 On sait que H(p) = 1
1 + 2p donc : F(z) =H
10z−10 z+ 1
= 1
1 + 210z−10 z+ 1
= z+ 1
z+ 1 + 20z−20 et F(z) = z+ 1 21z−19
b) D´eterminer X(z)
x est causal, et pour tout x∈N, on a 0,2>0 et x(n) = U(0,2n) =e(n) Donc x(n) =e(n) et, pour tout n : X(z) = z
z−1 c) V´erifier que Y(z) = z
z−1 −20 21
z z−1921
Y(z) = z
z−1 − 20 21
z z− 1921
=z 1
z−1− 20 21z−19
21z−19−20z+ 20 z+ 1
On a donc : z× z+ 1
(z−1)(21z−19) = z+ 1
21z−19 × z
z−1 =F(z)×X(z) =Y(z) En d´eduire l’expression dey(n), pour tout n ∈N.
Comme Y(z) = z
z−1 −20 21
z z−1921
on a y(n) =
1−20 21
19 21
n e(n)
3) Compl´eter, sur l’annexe, `a rendre avec la copie, le tableau en donnant des valeurs approch´ees `a 10−3 pr`es des r´esultats demand´es.
Annexe
Document-r´ eponse
n y(n) t = 0,2n s(t)
0 0,0476 0 0,0000
1 0,1383 0,2 0,0951
5 0,4225 1 0,3934
10 0,6499 2 0,6321
15 0,7877 3 0,7768
20 0,8713 4 0,8646
25 0,9219 5 0,9179
50 0,9936 10 0,9932
Exercice 2
9 points Dans ce probl`eme, on approche un signal `a l’aide d’une fonction affine par morceaux.On d´esigne par E un nombre r´eel de l’intervalle 0, 3
.
On consi`ere la fonction f d´efinie sur R, paire, p´eriodique dep´eriode 5, telle que :
f :
f(t) =E×t si 06t <1 f(t) = (3−E)t+ 2E−3 si 16t <2
f(t) = 3 si 26t6 5
2
Partie A
Dans cette partie, et uniquement dans cette partie, on se place dans le cas o`uE = 2.
1) Pr´eciser l’´ecriture de f(t) par intervalles : f :
f(t) = 2t si t∈ 0 ; 1 f(t) = t+ 1 si t∈
1 ; 2 f(t) = 3 si t∈
2 ; 52 2) Repr´esenter graphiquement la fonctionf sur l’intervalle
−5, 10 .
t f(t)
−5 5
2
−2 −1 1 2 5 2
5 10
1 2 3
Partie B
Dans cettepartie, on se place dans le cas g´en´eral, c’est `a dire dans le cas o`u la valeur de E n’est pas sp´ecifi´ee.
On appelle S la s´erie de Fourier associ´ee `a la fonction f.
+∞
2nπ 2nπ
1) Montrer que la valeur moyenne de la fonction f sur une p´eriode est a0 = 2E+ 3 5 a0 = 1
5 Z 52
−52
f(t)dt = 2 5
Z 52
0
f(t)dt
= 2 5
Z 1 0
E t dt+ Z 2
1
(3−E)t+ 2E−3
dt+ Z 52
2
3dt
!
= 2 5
Et2
2 1
0
+
(3−E)t2
2 + (2E−3)t 2
1
+h 3ti52
2
!
= 2 5
E 2 +
2(3−E) + 2(2E−3)
−
3−E
2 + 2E−3
+ 15
2
−6
= 2
5(E+ 3) = 2E+ 3 5
2) D´eterminer bn pour tout nombre entier naturel n sup´erieur ou ´egal `a 1.
Commef est une fonction paire : bn= 0
3) a) Montrer que pour tout nombre entier naturel n sup´erieur ou ´egal `a 1 : Z 1
0
tcos 2nπ
5 t
dt = 5 2nπ sin
2nπ 5
+ 25 4n2π2
cos
2nπ 5
−1
On fait une int´egration par partie :
u=t
dv= cos2nπ 5 t
dt
du=dt v = 5
2nπ sin2nπ 5 t Z 1
0
tcos2nπ 5 t
dt = 5t
2nπsin2nπ 5 t1
0
− 5 2nπ
Z 1 0
sin2nπ 5 t
dt
= 5
2nπ sin2nπ 5
+ 25 4n2π2
cos2nπ 5 t1
0
= 5
2nπ sin2nπ 5
+ 25 4n2π2
cos2nπ 5
−1
b) On a calcul´e les int´egrales Z 2
1
f(t) cos2nπ 5 t
dt et Z 52
2
f(t) cos2nπ 5 t
dt On a ainsi obtenu pour tout nombre entier naturel n sup´erieur ou ´egal `a 1 :
Z 52
0
f(t) cos2nπ 5 t
dt= 25 4n2π2
(2E−3) cos2nπ 5
+ (3−E) cos4nπ 5
−E En d´eduire la valeur de an tout nombre entier natureln sup´erieur ou ´egal `a 1.
an= 2 5
Z 52
−5
2
f(t) cos2nπ 5 t
dt = 4 5
Z 52
0
f(t) cos2nπ 5 t
dt (car f est paire)
= 5
n2π2
(2E−3) cos2nπ 5
+ (3−E) cos4nπ 5
−E
4) Pour tout nombre entier naturel n sup´erieur ou ´egal `a 1, on appelle un l’harmonique de rang n. On a alors un(t) =ancos2nπ
5 t
+bnsin2nπ 5 t
a) Montrer qu’au rang 5, u5(t) est nul pour tout nombre r´eel t.
u5(t) = a5×cos2×5π 5 t
= 5
52π2
(2E−3) cos2×5π 5
+ (3−E) cos4×5π 5
−E
×cos(2πt)
= 1 5π2
(2E−3)×1 + (3−E)×1−E
×cos(2πt)
= 0×cos(2πt)
u5(t) = 0
b) On appelle E0 la valeur de E pour laquelle l’harmonique de rang 3 est nulle, c’est `a dire la valeur de E telle que u3(t) est nul pour tout nombre r´eel t.
D´eterminer la valeur exacte, puis la valeur approch´ee `a 10−3 pr`es, deE0.
u3(t) = a3×cos2×3π 5 t
= 5
32π2
(2E−3) cos
2×3π 5
+ (3−E) cos
4×3π 5
−E
×cos 6π
5 t
= 5 9π2
(2E −3)×cos 6π
5
+ (3−E)×cos 12π
5
−E
×cos 6π
5 t
= 5 9π2
2 cos
6π 5
−cos 12π
5
−1
E + 3
cos 12π
5
−cos 6π
5
×cos 6π
5 t
On a donc : ∀t∈R, u3(t) = 0 ⇐⇒ E =
2 cos6π 5
−cos12π 5
−1 3 cos6π
5
−3 cos12π 5
E0 =
2 cos6π 5
−cos12π 5
−1 3 cos6π
5
−3 cos12π 5
= 15 +√ 5
30 ≈0,5745
