Epreuve de Math´ ematiques

U n i v e r s i t ´ e M ^{o u l a y} I ^{s m a¨ıl}

E ^cole N ^ationale S ^{up´ erieure d’} A ^{rts et} M ^{´ etiers —} M ^{ekn` es}

CONCOURS D’ENTREE en 1` ere Ann´ ee

Fili` ere : Sciences Math´ ematiques A et B

Epreuve de Math´ ematiques

Jeudi 26 Juillet 2012 - Dur´ ee : 2h 00mn

Questions ` a r´ eponse pr´ ecise , Partie A NB : Chaque question est not´ ee sur (1Pt)

Questions R´ eponses

Trouver la pr´ eriode T de la fonction suivante : f (x) = sin x

2

+ cos (x)

R´ esoudre dans IR l’´ equation : cos

(4x) −sin

(4x) = 1

D´ eterminer a, b ∈ IR tels que (1 + i)

= a + ib

Calculer C = lim

n→+∞

n ln

r

n + 1 n − 1

Soit f une fonction d´ erivable sur IR, calculer la d´ eriv´ ee de g (x) = exp

f x

Soit E = IR\ {−2} et soit f : E −→ IR telle que f (x) = x + 1

x + 2 avec x ∈ E, trouver f (E)

Trouver les maximums et les minimums de la fonction f : [−1, 1] −→ IR d´ efinie par f (x) =

x

− x + |x|

On donne les points A (1,2), B (−2, 1) et C (0, 4).

D´ eterminer l’angle BAC

en radian

Soit x un r´ eel positif. Combien y-a-t-il d’entiers na- turels multiples de 3 entre 0 et x ?

D´ eterminer le quotient et le reste de la division euli- dienne de X

− 7X

− X

− 9X + 9 par X

− 5X + 4

1

Questions ` a r´ eponse pr´ ecise , Partie B NB : Chaque question est not´ ee sur (2Pts)

Questions R´ eponses

Soit f : [a, b] −→ IR une fonction continue telle que

∀x ∈ [a, b], f (a+b−x) = f(x). on pose I =

a

f(x)dx et J =

Z b a

xf (x)dx. Calculer J en fonction I .

Soit E un ensemble, et A, B deux sous ensem- bles de E. On appelle diff´ erence sym´ etrique de A et B, not´ ee A∆B, le sous-ensemble de E : A∆B = {x ∈ A ∪ B / x 6∈ A ∩ B}. Calculer A∆E et A∆C

Le p´ erim` etre d’un triangle isoc` ele vaut

eterminer les dimensions de ce triangle pour que son aire soit la plus grande possible.

On note u

= 25

+ 2

. Trouver a, b ∈

tels que

∀n ∈

u

= au

+ bu

Calculer D =

−1

1 x

− 2 dx

Pour n ∈

, on pose S

= 1

+ 2

+ 3

+ ... + n

. Soit k un entier compris entre 1 et n. Utiliser l’´ egalit´ e (k + 1)

− k

= 3k

+ 3k + 1 pour calculer S

.

Soit x un r´ eel et E(x) la partie enti` ere de x.

D´ eterminer F = lim

n→+∞

E (x) + E (2x) + E (3x) + · · · E (nx) n

De combien de fa¸ con peut-on payer 10 DHS avec des pi` eces de 10 et 20 centimes ? ( 1 DH = 100 centimes) Soient x

, x

et x

les racines de x

+ 2x − 1 = 0, calculer X = x

+ x

+ x

Le 1

juin 2012, les participants d’un club d’astronomie ont observ´ e le corps c´ eleste A qui appa- rait tout les 51 jours. Le 28 juin 2012, ils ont observ´ e le corps c´ eleste B, qui apparait tout les 72 jours. A quelle date devront-ils fixer une nouvelle r´ eunion pour observer simultan´ ement les deux corps?

D´ eterminer un cercle de centre Ω et de rayon R tan- gent aux trois droites d’´ equations respectives : y = 2x + 1, y = 2x + 7 et y = − 1

2 x

2