Universit´e Paris-Dauphine UE 15 Outils math´ematiques D´epartement LSO
DEGEAD 1`ere ann´ee
Examen du 8 novembre 2014
1heure 30
Les calculatrices, les t´el´ephones portables et tous les documents sont interdits.
Il sera tenu compte de la pr´esentation, de la lisibilit´e et de la r´edaction. Tous les calculs doivent figurer sur la copie : un r´esultat exact, mais non justifi´e sera consid´er´e comme nul.
Exercice 1(3 points)
Montrer avec un raisonnement par r´ecurrence que
∀n∈IN,
n
X
k=0
k= n(n+ 1)
2 .
Exercice 2(3 points) On consid`ere les propositions suivantes
• P :∀x∈IR∗, ∀y∈IR∗, |x|x = |y|y =⇒x=y.
• Q :∀x∈IR\ {1}, ∀y∈IR\ {1}, x+1x−1 = y+1y−1=⇒x=y.
1. Donner les n´egations de P et Q.
2. Dire pour chacune de ces deux propositions si elles sont vraies ou fausses.
Exercice 3(4 points) Soit une fonctionf d´efinie par
∀x∈IR+∗\ {b}, f(x) =ae−x+ xln(x) (x−b)2 +c, o`ua,b etc sont des r´eels. D´eterminera,b etc sachant que
x→3limf(x) = +∞, lim
x→+∞f(x) = 1 et lim
x→0+f(x) = 0.
Exercice 4(10 points)
On consid`ere la fonctionf d´efinie sur le domaineIRpar :
∀x∈IR, f(x) = |x+ 3|
|x|+ 1. 1. Montrer quef est bien d´efinie surIR.
2. Donner l’expression def sur ]− ∞,−3], ]−3,0] puis ]0,+∞[.
1
3. Calculer la limite de f quand xtend vers +∞ et la limite quandxtend vers−∞.
4. Calculer la d´eriv´ee de f sur ]− ∞,−3[, ]−3,0[ puis ]0,+∞[.
5. La fonctionf est-elle d´erivable en 0 ? en -3 ?
6. Donner le tableau de variations def. En d´eduire que
∀x∈IR, 0≤f(x)≤3.
7. Montrer quefest une bijection de [0,+∞[ surf([0,+∞[). On d´eterminera f([0,+∞[).
8. Tracer le graphe def.
2
