Universit´e Paris-Dauphine UE 15 Outils math´ematiques D´epartement LSO
DEGEAD 1`ere ann´ee
Examen septembre 2011
1heure 30
Les calculatrices, les t´el´ephones portables et tous les documents sont interdits.
Il sera tenu compte de la pr´esentation, de la lisibilit´e et de la r´edaction. Tous les calculs doivent figurer sur la copie : un r´esultat exact, mais non justifi´e sera consid´er´e comme nul.
Exercice 1 On consid`ere l’applicationf d´efini sur IR+ par : f(x) = 1−x2ln (x) six >0
f(0) = 1
et on note (C) la courbe repr´esentative def dans un rep`ere orthonorrnal.
1. (a) Justifier quef est continue en 0.
(b) D´eterminer la limite de f quand xtend vers +∞.
2. (a) Calculer la d´eriv´ee de f surIR+∗.
(b) D´eterminer la limite de f0 quandxtend vers 0.
(c) En calculant le taux d’accroissement de f en 0, montrer que f est d´erivable `a droite en 0 et calculer f0(0).
(d) Donner le tableau de variations def.
3. (a) Montrer qu’il existe un unique r´eel not´eαtel quef(α) = 0 . (b) Montrer que 1< α <2.
4. D´eterminer l’intervalle sur lequel f est concave et celui sur lequel f est convexe.
5. Donner une allure du graphe def .
1
Exercice 2 Soit pourar´eel
I(a) = Z a
0
(1 + 3x2) ln(1 +x2)dx.
1. D´eterminer le domaine de d´efinition de la fonction f(x) = (1 + 3x2) ln(1 +x2).
2. (a) L’int´egraleI(a) est-elle une int´egrale g´en´eralis´ee?
(b) Pour tout r´eel a, comparerI(a) etI(−a).
(c) En utilisant une int´egration par parties, calculerI(a) en fonction de a.
(d) Montrer que l’int´egrale g´en´eralis´ee Z +∞
0
(1 + 3x2) ln(1 +x2)dxest divergente.
3. Calculer en fonction deI(1) et de I(2) l’int´egrale
J = Z 4
1
(1 + 3u) ln(1 +u)
√u du on pourra utiliser un changement de variable.
2
