L1 S1 PCSTI 2014 Math´ematiques
Examen du 14 janvier 2015
Dur´ee 3h. Aucun document ni calculatrice autoris´e.
T´el´ephones portables interdits.
Exercice 1. Soitf la fonction d´efinie sur l’ensemble {1,2,3} `a valeurs dans l’ensemble{4,5} donn´ee par les relationsf(1) = 4, f(2) = 5, f(3) = 4.f est-elle injective, surjective, bijective ? Justifier.
Exercice 2. Soitf :R→Retℓ∈R. Donner la d´efinition math´ematique de lim
x→+∞f(x) =ℓ.
Exercice 3.
(a)Rappeler (sans justification) les valeurs des limites lim
x→0
sin(x) x et lim
x→0
ln(1 +x)
x .
(b)Montrer l’existence de la limite lim
x→0
ln(1 +x)
sin(2x) et trouver sa valeur.
Exercice 4.
(a)Enoncer le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires.´
(b)Soitf une fonction continue sur [1,2] telle quef(1) etf(2) appartiennent `a [1,2]. Montrer qu’il existe un pointc∈[1,2] tel quef(c) =c. (On pourra appliquer le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires `a la fonction g(x) =f(x)−x.)
Exercice 5. Calculer les d´eriv´ees des fonctions suivantes : f(x) = ex+ sin(x), g(x) = sin¡
x2¢
, h(x) = 1
1 + tan(x), k(x) = eex.
Exercice 6. Soitf la fonction d´efinie parf(x) =x2sin¡1 x
¢si x6= 0 etf(0) = 0. Calculer la d´eriv´ee def en tout point deR\ {0}. Montrer quef est d´erivable en 0 et donnerf′(0).
Exercice 7.
(a)Soitf : [a, b]→Rune fonction continue. Rappeler la d´efinition d’une primitiveF def et donner la valeur de l’int´egraleRb
af en termes deF.
(b)Soient f, g deux fonctions de classeC1 sur [a, b]. Rappeler la formule d’int´egration par parties pour le calcul deRb
af g′.
(c)Trouver la valeur de l’int´egraleR1
0 x2sin(x)dx.
Exercice 8. Trouver toutes les fonctions d´erivables sur Rqui v´erifient la relation f′(x) +f(x) = 2 pour toutx∈R. (Poserf(x) = e−xg(x).)
Bar`eme indicatif : Exo 1 = 1, Exo 2 = 2, Exo 3 = 4, Exo 4 = 4, Exo 5 = 5, Exo 6 = 4, Exo 7=5, Exo 8=4
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