Dur´ee: 2h - Ni document ni calculatrice autoris´es

Universit´e de Cergy-Pontoise - Licence de Math´ematiques Calcul Int´egral - Mardi 19 juin 2007

Dur´ee: 2h - Ni document ni calculatrice autoris´es

Notation:

dx est la mesure de Lebesgue sur IR. On note 1_A la fonction indicatrice de l’ensemble A (1_A(x) = 1 si x∈A et 1_A(x) = 0 si x /∈A).

Exercice I (7 pts) Pour n∈IN^∗, on pose

∀x∈IR, f_n(x) = cos (x³ n) 1

1 +x²

1) a) Montrer qu’il existe une fontion f, que l’on pr´ecisera, telle que

n→+∞lim f_n=f, µ-p.p. sur IR b)Calculer ^R_IRf dx.

2) On pose

I_n=

Z

IRf_ndx Montrer que I_n ∈ IR et que lim

n→+∞I_n =π, en justifiant soigneusement le r´esultat.

Exercice II (5 pts)

Pour quelles valeurs de α ∈IRla fonction f(x, y) = 1

(1 +x+y)^α

est-elle int´egrable sur [0,+∞[×[0,+∞[ ? Dans ce cas, calculer la valeur de

R

[0,+∞[×[0,+∞[f(x, y)dx dy.

Exercice III (8 pts)

On consid`ere une suite d´ecroissante (f_n)_n∈IN de fonctions mesurables positives de (Ω,T) dans (IR₊,B). On suppose de plus que

Z

Ωf₀dµ <+∞ et que

n→+∞lim f_n = 0 µ-p.p. sur Ω

1) Pour tout n ∈IN, on posegn=f0−fn. Justifier pr´ecis´ement le fait que

n→+∞lim

Z

Ωgndµ=

Z

Ω f0dµ.

2) a) Montrer que pour toutn ∈IN,

Z

Ωf_ndµ <+∞

b) D´eduire du r´esultat de la question 1) que

n→+∞lim

Z

Ωfndµ= 0

3) Dans cette question, on consid`ere la suite de fonctions (h_n)_n∈IN d´efinies par

∀x∈IR, h_n(x) = 1 (n+ 1)

1

x1_[1,+∞[

a) Montrer que pour tout n ∈ IN, la fonction hn est mesurable positive de (IR,B) dans (IR₊,B) et que la suite (h_n) est d´ecroissante. Montrer ´egalement que

n→+∞lim hn= 0 µ-p.p. sur IR b)Calculer lim

n→+∞

Z

Ωh_ndx. Comparer au r´esultat de la question 2)b).