Partiel du 18 novembre 2015 – dur´ ee : 2h

Universit´e d’Aix-Marseille Licence de Math´ematiques G´en´erales - L3 Analyse num´erique et optimisation (Luminy) Ann´ee 2015-2016

Partiel du 18 novembre 2015 – dur´ ee : 2h

Les calculatrices, les notes de cours et de TD ne sont pas autoris´ees.

La clart´e et la qualit´e de la r´edaction seront prises en compte dans l’´evaluation.

Exercice 1 (Cours) – Norme matricielle induite par la norme euclidienne

On munitRⁿ de la norme vectorielle euclidienne|.|₂ etM_n(R) de la norme induite correspondante not´eek.k₂. Soit A∈ M_n(R), une matrice carr´ee d’ordre n ≥1 `a coefficients r´eels.

1. Montrer quekAk₂ =p

ρ(A^TA) = p

ρ(A A^T) =kA^Tk₂.

2. En d´eduire que si la matrice A est normale,i.e. A A^T =A^TA, on a kAk2 =ρ(A).

Exercice 2 – Convergence de la m´ethode de Jacobi pour une matrice s.d.p.

Soit A∈ M_n(R), une matrice carr´ee d’ordre n ≥1 `a coefficients r´eels, sym´etrique d´efinie positive et d´ecompos´ee sous la forme : A=M−N o`u M est une matrice inversible et M^t+N est sym´etrique et d´efinie positive.

Soit k.k la norme vectorielle sur Rⁿ associ´ee `a A et d´efinie par kxk=√

x^tA x, pour tout x∈Rⁿ. 1. Montrer que pour tout x∈Rⁿ, x6= 0 et y=M⁻¹A x, alors y^tAy−2y^tAx <0.

2. Montrer quekM⁻¹N xk² <kxk², pour tout x∈Rⁿ diff´erent de 0.

3. En d´eduire que ρ(M⁻¹N)<1.

4. Pour h > 0, soit A_h la matrice tridiagonale (du laplacien 1-D), de diagonale principale (resp.

sous-diagonale, sur-diagonale) de coefficients : 2

h² (resp. − 1 h², − 1

h²). Pourb donn´e dans Rⁿ, la m´ethode de Jacobi pour la r´esolution du syst`eme A_hx =b d´efinit une suite (x^(k))k∈N. Calculer l’expression de x^(k+1) en fonction dex^(k).

5. Montrer que la m´ethode de Jacobi d´efinie ci-dessus converge (pour toutb et x⁽⁰⁾ dans Rⁿ).

Exercice 3 – M´ethode it´erative du gradient `a pas fixe de Richardson

Soient A ∈ M_n(R) une matrice sym´etrique d´efinie positive, b ∈ Rⁿ et α ∈ R. Pour r´esoudre le syst`eme lin´eaire A x=b, on consid`ere la m´ethode it´erative d´efinie par la suite r´ecurrente :

x_k+1 =x_k+α(b−A x_k), pour k∈N et x₀ ∈Rⁿ donn´e.

1. Pour quelles valeurs de α(en fonction des valeurs propres de A) la m´ethode est-elle convergente pour tout choix initial x₀ ?

2. D´eterminer le param`etre optimalα₀ (en fonction des valeurs propres de A) qui assure la vitesse de convergence maximale, i.e. tel que : ρ(I−α0A) = min{ρ(I−α A), α∈R}.

Exercice 4 – M´ethode de Newton (ou de la tangente) pour une ´equation scalaire.

Soit la fonctiong d´efinie par g(x) =x³+ 1 pour x∈R. On veut r´esoudre l’´equation g(x) = 0.

1. Ecrire l’algorithme it´eratif de Newton pour la r´esolution de g(x) = 0.

2. Montrer que pour toute valeur initialex0 <0, l’algorithme est bien d´efini.

3. Donner un x₀ >0 pour lequel l’algorithme n’est pas d´efini.

4. Montrer que si x₀ ∈[−2,−1], la suite (x_n)n∈N donn´ee par la m´ethode de Newton converge vers x=−1.

5. Que fait l’algorithme six₀ ∈]−1,−1/2] ?

Exercice 5 – M´ethode de Newton pour le calcul d’une racine cubique

Soit la fonction g d´efinie sur R par g(x) = x³ −2. On cherche `a d´eterminer la racine x = 2¹³ de l’´equation g(x) = 0.

1. Donner la fonctionf de la m´ethode de Newton pour calculerxpar les approximations successives d´efinies par : x_k+1 =f(x_k), pour tout k ∈N.

2. On choisit x₀ ∈[1,2]. Justifier que la m´ethode est bien d´efinie et montrer qu’elle converge.

En d´eduire que la vitesse de convergence est au moins quadratique (d’ordre deux).

3. Montrer que la convergence est effectivement quadratique et pas mieux.

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