Examen LM390, session de l’ann´ee 2008–2009, sans document, ni calculatrice.

Examen LM390, session de l’ann´ee 2008–2009, sans document, ni calculatrice.

(1) IUn magasin vend des r´eveils provenant de 2 usines diff´erents A et B. On a constat´e que que 17% des r´eveils vendus dans ce magasin pr´esentaient un d´efaut. On a de plus r´eussi `a ´etablir que 20% des r´eveils de l’usineA

´etaient d´efectueux contre 10% pour l’usineB.

Calculer la proportion de r´eveils provenant de l’usine A.

(2) Un r´eveil pris au hasard dans le magasin pr´esente un d´efaut. Quelle est la probabilit´e conditionnelle qu’il provienne de l’usineB sous cette condition ?

(3) IISoith >0. SoitX une variable al´eatoire `a valeurs dans{0,±h,±2h, . . .}. On noteP(X=nh) =pn, P(X =

−nh) =p−n,pour toutn≥0,P∞

n=−∞pn= 1.

EcrireφX(t) sa fonction caract´eristique en termes de pn,n∈Z.

Donner sa plus petite p´eriode positiveλ >0.

D´eduire la valeur deφ(λ).

(4) IIISoit (A_n)_n≥0une suite d’´ev´enements ind´ependants tous de probabilit´e strictement inf´erieure `a 1, cadP(A_n)<

1 pour toutn≥0. On suppose queP(S∞

n=0A_n) = 1.

Que vautP(T

n≥0(Ω\An)) ? Que vautQ

n≥0P(Ω\An) ?

D´eduire que presque-sˆurement une infinit´e deAn sont r´ealis´es.

(5) IVSoientX1, . . . , Xn, . . .des variables al´eatoires ind´ependantes, de mˆeme loi, d’esp´erance 0 et de variancev >0.

Existe-t-elle la limite de la suiteZn =Qn

k=1exp(^X_n^k) quand n→ ∞? Si oui, donner la limite, le (les) sens de la limite (p.s., en probabilit´e, en loi, dansL^p) et argumenter votre r´eponse.

(6) Existe-t-elle la limite de la suiteWn =Qn

k=1exp(^X√_n^k) quandn→ ∞? Si oui, donner la limite, le (les) sens de la limite et argumenter votre r´eponse.

Est-ce que la fonction de r´epartition deW_n quandn→ ∞converge ? Si oui, donner sa limite.

(7) VSoientX₁, . . . , X_n, . . .des variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi de fonction de r´epartition : F_Xi(x) = (1 + exp(−bx))⁻¹ avec le param`etreb >0.

Donner la densit´e deX₁.

Donner la loi de la variable al´eatoireY1= exp(−bX1).

(8) On poseMn= max(X1, . . . , Xn). Soit (an)_n≥0 une suite de nombres r´eels, croissante, telle quean ↑ ∞.

Calculer la fonction de r´epartition deMn−an.

(9) Prouver que pour an =b⁻¹lnnla suite (Mn−an)_n≥0 converge en loi vers une loi limite, n→ ∞. Donner la fonction de r´epartition de cette loi limite.

As-t-on la convergence en loi deMn−an sian=clnnavecc > b⁻¹? Argumentez votre r´eponse.

As-t-on la convergence en loi deMn−an sian=clnnavecc < b⁻¹? Argumentez votre r´eponse.

(10) VISoient X₁, . . . , X_n, . . . des variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi : P(X₁ =n^α) = n^−β, P(X₁ = 0) = 1−n^−β de param`etresβ >0,α >0. On poseY₁=X₁X₂, Y₂=X₂X₃, . . . , Y_n=X_nX_n+1, . . ..

Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur le couple (α, β)∈R₊×R₊pour que la suite (X_n)_n≥0converge en probabilit´e.

Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur le couple (α, β)∈R+×R+pour que la suite (Yn)_n≥0converge en probabilit´e.

(11) Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur le couple (α, β)∈R+×R+pour que la suite (Xn)_n≥0converge dansL^p.

Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur le couple (α, β)∈R+×R+pour que la suite (Yn)_n≥0converge dansL^p.

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1ère session P2

(12) Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur le couple (α, β)∈R₊×R+pour que la suite (X_n)_n≥0converge p.s.

(13) Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur le couple (α, β)∈R₊×R₊pour que la suite (Y_n)_n≥0converge p.s.

(14) VII Soient X et Y deux variables al´eatoires ind´epedantes `a valeurs dans Rde densit´es ^√1

2πc² exp(−x²/(2c²)) et ^√1

2πd²exp(−y²/(2d²)) respectivement par rapport `a la mesure de Lebesgue. (c<sup>2</sup> > 0 et d<sup>2</sup> > 0 sont des param`etres r´eels). Donner la loi de la variable al´eatoireX/Y. (Vous pouvez commencer par calculer la loi du couple (X/Y, Y)).

(15) VIIISoient ((Xn, Yn))_n≥0une suite de variables al´eatoires `a valeurs dansR²qui converge en loi vers la loi d’un vecteur Gaussien d’esp´erance (0,0) et de matrice de covariances

C=

1 ρ ρ 1

,

le param`etreρ∈]−1,1[ etρ6= 0.

Que peut-on en d´eduire sur la suiteφ_(Xn,Yn)(t₁, t₂) de fonctions caract´eristiques de (X_n, Y_n) ? Donner lim_n→∞Ecos(2X_n−Y_n), lim_n→∞Esin(2X_n−Y_n) si elles existent.

(16) Prouver qu’il existeN tel que pour tout n ≥N les deux variables al´eatoires du couple (X_n, Y_n) ne sont pas id´ependantes.

(17) Trouver un coupleaetbpour que le couple (aXn+bYn, Yn) converge en loi vers la loi d’un couple de variables al´eatoires ind´ependantes. Donner les variances de la loi limite.

(18) Soitf : R² → Rune fonction continue sur R² (pas n´ecessairement born´ee). Prouver que la suite f(Xn, Yn) converge en loi.

On admettra que ce r´esultat reste vrai pour f continue surR²\A o`u P((Xn, Yn)∈A) = 0 pour toutn≥0.

(19) Prouver que la suite (aXn+bYn)/Yn converge en loi et donner la loi limite. (Pour cela, utiliser les questions (18) et (14)). D´eduire queXn/Yn converge en loi, donner la loi limite de Xn/Yn, sa densit´e.

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1ère session P2