Université de Cergy-Pontoise - Licence L3-S5
Examen - Analyse Complexe - Session 1 (17 décembre 2009)
Durée : 3h00 - Ni document ni calculatrice autorisés
. Les 3 exercices sont indépendants.Exercice I
Soit a:R→R et b:R→R deux fonctions dérivables sur R. Pour z =x+iy ∈C avec (x, y)∈R2, on pose
f(z) = a(x) cos(y) +ib(x) sin(y)
1. Soient P = Re(f) et Q = Im(f). Donner l'expression des dérivées partielles ∂P
∂x,
∂P
∂y, ∂Q
∂x, ∂Q
∂y à l'aide des dérivées des fonctions a et b. 2. Supposons dorénavant que pour tout x∈R on a
½ a0(x) = b(x)
b0(x) = a(x) (∗) (a) Montrer que f est holomorphe sur C.
(b) Montrer que a vérie une équation diérentielle.
(c) En déduire que f est alors de la forme ∀z ∈ C, f(z) = Aez +Be−z avec (A, B)∈R2.
(Indication : on commencera par résoudre le système (∗)) Exercice II
Soit D={z ∈C| |z|<1} le disque unité.
1. Quel est le rayon de convergence de la série entière X+∞
n=0
1
n+ 1zn+1? Etudier le com- portement sur le cercle de convergence. On noteF(z)la somme de cette série entière.
2. Montrer que F vérie :∀z ∈D, F0(z) = 1
1−z et F(0) = 0. 3. Pour z ∈D, on pose φ(z) = (1−z)eF(z).
(a) Calculer φ0(z)pour z ∈D.
(b) En déduire que pour tout z ∈D, eF(z) = 1 1−z.
4. On note g(z) = exp(−F(−z))2 ) pourz ∈D. Montrer que la fonction g vérie
∀z ∈D, g(z)2 = 1 +z et g(0) = 1.
Que vaut g(x)pour x réel, −1< x <1? On justiera soigneusement la réponse.
5. Soit n ∈N∗. Construire à l'aide de la fonctionF une fonctiongn holomorphe surD telle que
∀z ∈D, (gn(z))n = 1 +z et gn(0) = 1.
Exercice III
Pour α >0, on dénit la fonction f par
f(z) = eiz z2+α2.
1. Quels sont les singularités de la fonction f? Quelle est leur nature ? Déterminer les résidus de la fonction f au voisinage de ses pôles éventuels.
2. Pour R > α, soit CR+ le demi-cercle supérieur de centre0 et de rayon R déni par CR+={z ∈C | |z|=R et Im(z)>0}
et soit γR le lacet constitué du segment réel [−R, R] suivi de CR+ parcouru une fois dans le sens trigonométrique direct. Montrer que pour tout R > α,
Z
γR
f(z)dz = πe−α α .
3. Montrer que si z ∈CR+ avec R > α, alors on a
|f(z)| ≤ 1 R2−α2, et ensuite que l'on a, pour tout R > α,
¯¯
¯ Z
CR+
f(z)dz
¯¯
¯≤ πR R2−α2. 4. En déduire que
R→+∞lim Z
γR
f(z)dz = Z +∞
−∞
f(x)dx.
5. Donner la valeur de
I = Z +∞
−∞
eix x2+α2dx puis de
J = Z +∞
−∞
cos(x) x2+α2dx.
