D.S. DE MATHEMATIQUES (3)

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D.S. DE MATHEMATIQUES (3)

NOM : PRENOM : CLASSE : TS 1

Pas de document, ni de calculatrice ni de sortie autorisés avant la fin de l’épreuve. DUREE : 3 H 00 I – Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de ℝ et n un entier naturel.

Donner la dérivée de la fonction uⁿ: xuⁿx . Démontrer le résultat.

II - Calculer les dérivées des fonctions f, g et h définies ci-dessous par : f x=3x²−x



^x ^{; g}^^x^=³^x^⁴

2x²5, hx=4x−3⁵. III - Soit g la fonction définie surℝpar : gx=x³−3x−4.

1. a . Étudier les variations de g .

b . Déterminer les limites de g en−∞et∞. c . Dresser le tableau de variation de g .

2. a . Démontrer que l'équation gx=0admet une solution uniqueet donner un encadrement de

à10⁻²près.

b . Déterminer le signe degxsuivant les valeurs de x .

3. a . Représenter g dans un repère orthonorméO ,i ,j (unité : 1 cm).

b . Déterminer graphiquement, selon, les valeurs du réel k, le nombre de solutions de l'équation gx=k.

4. Soit f la fonction définie sur ]1;∞[ par : f x=x³2x² x²−1 a . Démontrer que f ' a le même signe que g sur ]1;∞[.

b . Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

c . Construire le tableau de variation de f et donner une valeur approchée de f 

IV -On considère dans le plan rapporté à un repère orthonormalO ,i ,j, le cercle de centre 0 et de rayon 1. Soit A le point de coordonnées (1 ; 0) et A' le point de coordonnées (- 1 ; 0).

1. Par tout point H du segment [AA'], distinct de A et de A', on mène la perpendiculaireà la droite (AA'). La droitecoupe le cercleen M et en M'. On note x l'abscisse de H. Calculer l'aire du triangle AMM'.

2. Soit f la fonction définie sur [- 1;1 ] par : f x=1−x



^¹⁻^x²^. Dresser le tableau de variations de f ; on y précisera f(0).

3. Démontrer que le triangle AMM' d'aire maximale est équilatéral.

Justifier que l'équation f(x) = 1 admet exactement deux solutionset (<).

Déterminer  et donner, en justifiant, une valeur approchée par défaut à10⁻² près de.

V – On se place dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal direct

(

^O^,^u^^,^v^

)

, (unité : 1 cm).

1. Déterminer et construire l'ensemble (∆) des points M d'affixe z vérifiant :

(

²⁺ ⁱ

) (

^z⁺ ²⁻ ⁱ

)

^z ⁼ ⁴

(on pourra poser z= x+ iy où x et y sont deux nombres réels).

2. Déterminer et construire l'ensemble (Γ) des points M d'affixe z vérifiant :

(

^z⁺ ²ⁱ

)(

^z⁻ ²ⁱ

)

⁼ ⁴

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VI – Soient trois nombres complexes z₁, z₂et z₃définis par : z1=



^3i

4 , z2=z1−i et z₃= z₁−i

On appelle M₁,M₂ et M₃ les images respectives de z₁, z₂et z₃ dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal O;u ,v d'unité graphique 4 cm.

1. a . Déterminer la forme algébrique de z₂ et de z₃. b . Placer les points M₁,M₂ et M₃ dans le repère.

c . Calculer ∣z₃−z₁∣ et ∣z3−z2∣∣z2−z₁∣.

Que peut-on en déduire pour les points M₁,M₂ et M₃? 2. a . Déterminer le module et un argument de z₁ et de z₂ .

b . Déterminer le module et un argument de ^z2−z₁.

Que peut-on en déduire pour la droite M₁M₂ par rapport à l'axe O;u ,v? c . Démontrer que le triangle M₁OM₂ est rectangle.

Bon courage.

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