Examen LM346 ”Processus et simulations”, 1`ere session 2011–2012, sans document, ni calculatrice.
Rappel.
La densit´e de la loi Gaussienne de param`etres(0,1) est(1/√
2π) exp(−x2/2).
La densit´e de la loi exponentielle de param`etreλ >0 estλexp(−λx)1{x≥0}.
La loi de Poisson de param`etre λ est la loi discr`ete `a valeurs dans {0,1,2, . . .}, la probabilit´e de la valeur k est
´
egale `a(λk/k!) exp(−λ)pourk= 0,1,2, . . .(on admet0! = 1).
(1) SoitZ une variable al´eatoire de loi du χ2 `a2degr´es de libert´e. Donner la d´efinition de cette loi.
(2) Calculer la densit´e deZ. Suggestion : on pourrait calculer Ef(Z) pour f-mesurable born´ee, pour r´ealiser ce calcul on pourrait passer en coordonn´ees polaires sans oublier le Jacobien.
D´eduire que la loi duχ2`a2degr´es de libert´e coincide avec la loi exponentielle dont vous expliciterez le param`etre.
(3) D´eduire la fonction de r´epartition deZ.
(4) D´ecrire une m´ethode de simulation deZ`a partir deunevariable al´eatoireU de loi uniforme sur [0,1]. Suggestion : utiliser le r´esultat de (3)
(5) Pour toutα∈[0,1], expliciter le quantileqα pour queP(Z > qα) =α.
(6) SoientX1, X2, X3, . . .des variables al´eatoires Gaussiennes de param`etres (0,1) ind´ependantes sur (Ω,F, P). Soit T >0 un nombre fix´e.
Soitk(ω) = max{i≥1 : (X1(ω))2+ (X2(ω))2+· · ·+ (Xi(ω))2< T}. On posek(ω) = 0 si (X1(ω))2≥T. On noteN(ω) = [k(ω)/2] la partie enti`ere du nombrek(ω)/2.
Donner la loi deN(ω) et la valeur deP(N(ω) = 5) en terme deT.
(Ceci ne demande aucun calcul si vous avez appris le cours et avez fait (ou admis) les points pr´ec´edents.) (7) Une compagnie d’assurance a 500000 clients. Elle souhaite proposer `a ses clients trois types de contrat A,B,C
au choix pour les indemniser en cas de sinistre S. Les cotisations annuelles sont de 100 euros pour les clients ayant le contrat A, 200 euros pour ceux ayant le contrat B et 400 euros pour les clients qui ont choisi le contrat C. En cas de sinistre S, un client obtient de la compagnie d’assurances 5000 euros s’il a le contrat de type A, 10000 euros s’il a le contrat de type B et 30000 s’il a le contrat de type C.
On suppose que pour l’ann´ee 2013 chaque client choisira le contrat de type Aavec probabilit´e 0,2, de type B - avec probabilit´e 0,7, de type C – avec probabilit´e 0,1, ind´ependamment des autres clients.
Comment simuler une variable al´eatoire qui repr´esente la somme des cotisations annuelles de tous les clients ? (8) La suite de (7). Par ailleurs, on suppose qu’il arrivera `a chaque client le sinistre S en 2013 avec probabilit´e 0,01
ind´ependamment des autres clients et du contrat qu’il a choisi.
Comment (`a partir d’une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de loi uniforme sur [0,1]) simuler une variable al´eatoire qui repr´esente le gain annuel de la compagnie d’assurances en 2013 apr`es la r´eception de toutes les cotisations et le paiement de toutes les indemnisations ?
(9) La suite de (7). La compagnie ´emet l’hypoth`ese qu’en 2014, 20% de clients choisiront le contrat de type A, 70%
le contrat de type B et 10% le contrat de type C.
Pour v´erifier cette hypoth`ese, elle fait un sondage aupr`es de 10000 clients: 2010 clients choisissent pour l’ann´ee 2014 le type A, 7010 – le type B, 980 de clients choisissent le type C. V´erifier si cette hypoth`ese est fiable `a un niveau de confiance de 0,99.
Renseignement utile : ln 0,01 =−4,6. Suggestion : utiliser les r´esultats de (2),(3), (5).
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(10) On consid`ere une chaine de Markov sur l’espace d’´etats{1,2,3,4,5,6}de matrice de transition
1/3 0 0 0 0 2/3
0 1/2 0 0 1/2 0
1/2 0 0 1/4 1/4 0
0 1/4 1/4 0 0 1/2
0 1/4 0 0 3/4 0
1/2 0 0 0 0 1/2
Donner ses classes d’´etats et indiquer si elles sont r´ecurrentes ou transiente.
(11) CalculerP(X2= 2|X0= 5).
(12) Donner toutes les mesures de probabilit´e invariantes pour cette chaine de Markov.
(13) SoitTi= min{n≥1 :Xn=i}. CalculerP(T6<∞ |X0= 1),P(T6<∞ |X0= 3), P(T6<∞ |X0= 5).
(14) D´eduireP(T5<∞ |X0= 3), P((T5<∞)∩(T2<∞)|X0= 3).
(15) Calculer les limites limn→∞P(Xn = 6|X0= 1), limn→∞P(Xn = 6|X0= 3), limn→∞P(Xn = 6|X0= 5), limn→∞P(Xn= 6|X0= 6).
(16) DonnerE(T6|X0= 6), E(T6|X0= 3).
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