Examen LM346 ”Processus et simulations”, 1`ere session 2011–2012, sans document, ni calculatrice. Correction.

Examen LM346 ”Processus et simulations”, 1`ere session 2011–2012, sans document, ni calculatrice.

Correction.

(1) SoientX, Y deux variables al´eatoires Gaussiennes, de param`etres (0,1), ind´ependantes. Z est de loiX²+Y². (2) Ef(Z) = 1/(2π)R

R

R

Rf(x²+y²) exp(−x²−y²)dxdy, on passe aux coordonn´ees polaires, (r, φ), le Jacobien vaut r. On aEf(Z) = 1/(2π)R∞

0

R2π

0 f(r²) exp(−r²/2)rdφdr =R∞

0 f(r²)rexp(−r²/2)dr. On poser² =z, et alors r=√

z,dr= (1/(2√

z))dz. AlorsEf(Z) =R∞ 0 f(z)√

z/(2√

z) exp(−z/2)dz= (1/2)R∞

0 f(z) exp(−z/2)dz.

Z est de loi exponentielle de param`etre 1/2.

(3) F_Z(x) =P(Z ≤x) = (1/2)Rx

0 exp(−z/2)dz= 1−exp(−x/2) pourx >0 etF_Z(x) = 0 pourx≤0.

(4) On aF⁻¹(u) =−2 ln(1−u) pouru∈]0,1[. On simule une v.a. U de loi uniforme sur [0,1]. La v.a. −2 ln(1−U) est de mˆeme loi que Z.

(5) On r´esoutP(Z > qα) =α, alors exp(−qα/2) =α, doncqα=−2 lnα.

(6) Comme X_i²+X_i+1² sont de loi exponentielle de param`etre 1/2, ind´ependantes pouri= 1,3,5, . . ., par le cours N(ω) est de loi de Poisson de param`etreT /2. La probabilit´e est (T /2)⁵/(5!) exp(−T /2).

(7) On pose Zi = 100 si 0 < Ui < 0,2, Zi = 200 si 0,2 ≤ Ui < 0,9 et Zi = 400 si 0,9 ≤ Ui < 1. On prend P500000

i=1 Z_i.

(8) Pour chaque client i on simule U_i¹ et U_i² deux v.a. ind´ep., de loi uniforme sur [0,1]. L’une simule le choix du contrat de ce client, l’autre – sa (mal)chance d’avoir un sinistre. On pose l’apport du client i Xi = 100 si 0 < U_i¹ < 0,2 et U_i² > 0,01 Xi = 200 si 0,2 ≤ U_i¹ < 0,9 et U_i² > 0,01, Xi = 400 si 0,9 ≤ U_i¹ < 1 et U_i² >0,01,Xi= 100−5000 si 0< U_i¹<0,2 et U_i² ≤0,01Xi= 200−10000 si 0,2≤U_i¹<0,9 etU_i²≤0,01, Xi= 400−30000 si 0,9≤U_i¹<1 etU_i²≤0,01. Le gain de la compagnie estP500000

i=1 Xi.

(9) On fait le test deχ²`a deux degr´es de libert´e: (2010−2000)<sup>2</sup>/2000 + (7010−7000)<sup>2</sup>/7000 + (980−1000)<sup>2</sup>/1000 = 1/20 + 1/70 + 4/10<1< q<sub>0,01</sub>= (−2 ln 0,01)∼9,2. L’hypoth`ese N’EST PAS REJETEE.

(10) {1,6},{2,5} les classes ferm´ees, r´ecurrentes,{3,4}la classe non ferm´ee, transiente.

(11) P(X2= 2|X0= 5) = 1/4×1/2 + 3/4×1/4 = 5/16.

(12) π3 =π4 = 0 car {3,4} transientes. L’´equation ~π = ~πP avec cette r´emarque se decompose en deux syst`emes ind´ependants : l’un pourπ1, π6, l’autre pourπ2, π5. On calcule (π1, π6) =const(3/7,4/7), (π2, π5) =const(1/3,2/3).

Alors toutes les mesures de probabili´e invariantes se repr´esentent comme π = (c(3/7),(1−c)(1/3),0,0,(1− c)2/3, c(4/7)) avecc∈]0,1[.

(13) P(T⁶ <∞ |X0 = 1) = 1 car {1,6} est une classe r´ecurrente, P(T⁶ <∞ |X0 = 3) =h^1,6₃ ,P(T⁶<∞ |X0 = 5) = 0

Calculonsh^1,6₃ . On ah^1,6₃ = 1/2×1+1/4h^1,6₄ +1/4×0 eth^1,6₄ = 1/4h^1,6₃ +1/2×1+1/4×0, donch^1,6₃ =h^1,6₄ = 2/3.

(14) P(T⁵ < ∞ | X₀ = 3) = 1−h^1,6₃ = 1/3, P((T⁵ <∞)∩(T² <∞) | X₀ = 3) = P(T² <∞ | T⁵ <∞, X0 = 3)P(T⁵<∞ |X₀= 3) = 1×1/3 = 1/3.

IciP(T²<∞ |T⁵<∞, X₀= 3) = 1 car {2,5}sont dans une classe r´ecurrente.

(15) La classe{1,6} est recurrente, finie, ap´eriodique(!). Alors lim_n→∞P(X_n= 6|X₀= 1) = 4/7, lim_n→∞P(X_n= 6|X0= 3) = 2/3×4/7, lim_n→∞P(Xn= 6|X0= 5) = 0, lim_n→∞P(Xn= 6|X0= 6) = 4/7.

(16) E(T⁶|X0= 6) = 7/4,E(T⁶|X0= 3) =∞carP(T⁶<∞ |X0= 3) = 2/3<1.

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