Examen LM346 ”Processus et simulations”, 1`ere session 2012–2013, correction.
Le num´ero de votre sujet peut ˆetre1,2,3,4,5,6parmi les sujets sur le web. C’est [(N+1)/2](mod 6), N le num´ero (impair) de la page encadr´ee sur votre copie.
Barˆeme : Simulation de lois (qqs 1-7) 22 points, Statistiques (qqs 8–11) 13 points, Chaines de Markov (qqs 12-18) 25 points.
(1) Soitf mesurable born´ee. SoitV = 1−U. Alors (changement de variable 1−u=v): Ef(V) =Ef(1−U) = Rf(1−u)1{[0,1]}(u)du=R1
0 f(1−u)du=R0
1 f(v)(−dv) =R1
0 f(v)dv. DoncV est aussi de loi uniforme sur [0,1], de densit´e : 1{[0,1]}(v) et de fonction de r´epartitionx1{[0,1]}(x) + 1{]1,∞[}(x) (et non pasxcomme ´ecrit dans qqs copies).
(2) Cette fonction est l’inverse de la fonction de repartition de la loi exponentielle, qui est 1−exp(−x). C’est donc
−ln(1−x). Et comme 1−U est aussi de loi uniforme sur [0,1], cette fonction peut etre aussi−lnx.
(3) Sujet 1. On divise le segment [0,1] en sous -segments [0,exp−2[ et [exp−2,1[. Pouri= 1,2, . . . ,6 siUi∈[0,exp−2[, on poseVi= 0 sinonVi= 1. AlorsV1, . . . , V6 sont de loi demand´ee. On a 0,1,0,0,0,0.
Sujet 2. 0,1,1,0,1,0.
Sujet 3. 1,1,1,0,0,0.
Sujet 4. 0,1,1,0,0,0.
Sujet 5. 1,1,1,1,0,0.
Sujet 6. 0,1,1,1,1,0.
(4) Les variables −lnUi, i = 1, . . . ,6 sont de loi exponentielle de param`etre 1 d’apr`es la question 2. Sujet 1 : 7,1,4,6,3,5. Sujet 2 : 8,2,3,6,4,9, Sujet 3 : 3,1,2,6,8,5, Sujet 4 : 9,2,1,6,5,7, Sujet 5: 6,2,3,5,8,9, Sujet 6:
7,1,2,5,3,8.
Les r´eponses de type−ln(1−Ui),i= 1, . . . ,6 comme par exemple dans le sujet 1 −ln(1−exp(−7)),−ln(1− exp(−1)), . . .sont tout aussi corrects et ont ´et´e compt´es.
(5) Sujet 1. On sait queν = max{k≥0 :X1+· · ·+Xk ≤t}est de loi de Poisson de parametret. (avec la convention max∅ = 0). Ici X1, . . . sont des v.a. ind´ep. de loi exponentielle de parametre 1. On a 7 <10, 7 + 1 <10, 7 + 1 + 4>10, doncν = 2.
Sujet 2. 0 car 7>5. Sujet 3. 4 Sujet 4. 1 Sujet 5. 4 Sujet 6. 3
(6) Sujet 1. On consid`ere les paires (X1, Y1),(X2, Y2),(X3, Y3) de variables al´eatoires exponentielles et leurs realisa- tions (7,1),(4,6),(3,5). On cherheν= min{i:Yi>1/2(1−Xi)2}. On poseZ=Xν. On a 1<(1−7)2/2 mais 6>(1−4)2/2, doncν = 2,Z = 4.
Dans tous les autres sujetsν= 2. Les valeurs deZ : Sujet 2. 3. Sujet 3. 2. Sujet 4. 1. Sujet 5. 3. Sujet 6. 2.
(7) C’est la loi Gaussienne de param`etres (0,1). En effet pour toutef mesaurable born´ee
Ef(X) = 1/2 Z ∞
0
f(z) exp(−z2/2)(2/√
2π)dz+ 1/2 Z ∞
0
f(−z) exp(−z2/2)(2/√ 2π)dz
= 1/2 Z ∞
0
f(z) exp(−z2/2)(2/√
2π)dz−1/2 Z −∞
0
f(v) exp(−v2/2)(2/√ 2π)dv
= Z ∞
−∞
f(z) exp(−z2/2)(1/√ 2π)dz.
(8) Sujet 1 et 4. T4000= (1/1000)(02+ 02+ 32+ 32) = 18/1000 = 9/500 Sujet 2 et 5 : 20/1000 = 1/50 Sujet 3 et 6:
26/1000 = 13/500.
(9) C’est la loi de la somme deX12+· · ·+Xd2, o`uX1, . . . , Xd sont des v.a. ind´ep. (ceux qui n’ont pas ´ecrit ca ont
´et´e p´enalis´es !) Gaussiennes de param`etres (0,1).
C’est le nombreqα,d∈Rtel que P(X12+· · ·+Xd2> qα,d) =α.
1
(10) SiT4000> qα,3 on rejete l’hypoth`ese, sinon on ne la rejete pas. Il ´etait important de pr´eciserd= 3, ceux qui ne l’ont pas not´e ont ´et´e p´enalis´es.
(11) C’estR
x21+x22+x23<aexp(−x21/2−x22/2−x23/2)(1/√
2π)3dx1dx2dx3,d= 3, le domaine est une sph`ere de rayon√ a et de centre dans (0,0,0). Dans les autres sujets, la lettreachange pour les autres lettres.
(12) Les classes r´ecurrentes sont{1,3,5} et {4} , la classe {2,6} est transiente. Le premier ´etat est r´ecurrent, le deuxi`eme est transient, par cons´equant la premi`ere limite limn→∞1n = 1, la deuxi`eme limite vaut 0 car la probabilit´e de revenir `a l´etat transient est<1.
(13) La premier ´etat est visit´e une infini´e de fois p.s., donc la probabilit´e vaut 0, le deuxi`eme ´etat est visit´e un nombre fini de fois p.s., la deuxi`eme probabilit´e vaut 1.
(14) La probabilit´e vaut 1 car dans la classe r´ecurrente chaque ´etat est visit´e p.s.
(15) On notehi=P(T1<∞ |X0 =i). Alorsh2 = 1/6h2+ 1/2×1 + 1/6×0 + 1/6h6 eth6= 1/12×1 + 1/2h2+ 1/12×0 + 1/3h6,h2= 25/34,h6= 23/34.
(16) Il faut calculer la mesure invariante de la classe r´ecurrente{1,3,5}ceci vaut (18/61,15/61,28/61). Cette classe est ap´eriodique car sur la diagonale un ´el´ement >0. La limite vaut 18/61 pour les sujets 1,4; 15/61 pour les sujets 2,5, et 28/61 pour les sujets 3,6.
(17) La premi`ere limite vaut 0 car l’´etat est transient. La deuxi`eme limite vaut le produit de vos r´esultats de questions (15) et (16).
(18) Cela doit ˆetre une mesure invariante qui est en g´en´eral (c1(18/61),0, c1(15/61),1−c1, c1(28/61),0) avecc1∈[0,1].
Le plus simple est de prendrec1= 0. N’importe quelle mesure invariante est correcte.
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