(1)Correction de l’examen LM346, 1`ere session de l’ann´ee sans document

Correction de l’examen LM346, 1`ere session de l’ann´ee 2010–2011, sans document.

[1] 1 =CR∞

1 (1/x²)dx=C(−1/x)

∞ x=1

=C,C= 1,F(t) =Rt

1(1/x²)dx= (−1/x)

t 1

= 1−1/t.

[2] On pose 1−1/t=u,t= (1−u)⁻¹. F⁻¹(u) = (1−u)⁻¹pouru∈[0,1[. Par la m´ethode d’inversion, la variable al´eatoire (1−U)⁻¹ (U ´etant de loi uniforme sur [0,1]) est de mˆeme loi queX. On simuleU et on calcule (1−U)⁻¹. [3] On simule (Ui),i= 1,2, . . . , nune suite de v.a. ind´ep., de loi uniforme sur [0,1]. On poseXi= 1 siUi∈[0, p1[, Xi= 2 siUi∈[p1, p1+p2[,Xi= 3 siUi ∈[p1+p2, p1+p2+p3[, Xi= 4 siUi∈[p1+p2+p3,1].

[4] La limite en loi est la loiχ²(3), c’est la loi deχdeux `a 3 degr´es de libert´e. C’est la loi de la variableX<sup>2</sup>+Y<sup>2</sup>+Z<sup>2</sup>, o`uX, Y, Z sont des variables al´eatoires Gaussiennes ind´ependantes d’esp´erance 0 et de variance 1.

[5]D={(x, y, z) :x²+y²+z²> t}. C= (√ 2π)⁻³.

[6]Comme exp(−x) est continue et born´ee (par 1) sur R+ cette limite vaut E(exp(−(X² +Y² +Z²)/2)) = CR R R

exp(−(x²+y²+z²)/2) exp(−x²/2−y²/2−z²/2)dxdydz= (√

2π)⁻¹R

exp(−x²)dx3

= (√ 2)⁻³. [7] Le bon nombre estχ0.05,3= 7,81. On calculeT = (4800−5000)²

5000 +(2300−2000)²

2000 +(1800−2000)²

2000 +(1100−1000)² 1000 . Si T ≥χ0.05,3, on rejete l’hypoth`ese, sinon on accepte.

[8] Une classe r´ecurrente, la CM est irr´eductible.

[9] Comme la CM est irr´eductible r´ecurrente, les deux probabilit´es valent 1.

[10]Pν(X1= 1) = 1/16,Pν(X2= 1) = 19/64.

[11 L’unique loi est (4/13,3/13,6/13).

[12] La CM est finie, irr´eductible et ap´eriodique (un ´el´ement de la matrice sur la diagonale est>0), la limite vaut 4/13.

[13] 13/4

[14] Comme cette loi initiale est stationnaire, cette probabilit´e vaut 4/13.

[15] {1,3,5} est une classe r´ecurrente, {2,4} est transiente. Sip= 0,{6} est transient, {7} est absorbant, donc r´ecurrent, sip6= 0,{6,7}est r´ecurrent.

[16] Cette CM sur{1,3,5}a la mˆeme matrice que (X_n)_n≥0. Donc les lois stationnaires sont : (4c/13,0,3c/13,0,6c/13, dp/(1+

p), d/(1 +p)) avecc, d≥0,c+d= 1.

[17]h^A₂ = 1/3 + 1/3h^A₄ + 0,h^A₄ = 1/4h^A₂ + 1/2 + 0,h^A₄ = 7/11,h^A₂ = 6/11.

[18] Pouri= 1,3,5 cette limite vaut 4/13, pouri= 2, cette limite vaut 6/11×4/13, pouri= 4 cette limite vaut 7/11×4/13, pour i= 6,7 cette limite vaut 0.

[19] Pourp= 0 cette limite vaut 0 car l’´etat 6 est transient. Soit p6= 0. Pour i= 1,3,5 cette limite est 0. Pour i= 2 cette limite vaut (1−6/11)×p/(1 +p). Pouri= 4 cette limite vaut (1−7/11)×p/(1 +p). Pouri= 6,7 cette limite vautp/(1 +p).

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