Orsay 2008-2009 IFIPS S2 Math´ematiques (M160).
Contrˆ ole num´ ero 1.
Dur´ee : 2h. Calculatrices et documents interdits.
La qualit´e de la r´edaction interviendra dans l’appr´eciation de la copie.
Barˆeme indicatif : 3 + 8 + 2 + 3 + 4.
Exercice 1 : Aire d’un domaine du plan.
Soit D={(x, y)∈R2, x2−1≤y, y+ 3x2 ≤3, y≤3x+ 3}.
(a) Repr´esenterD.
(b) Calculer l’aire de D.
Exercice 2 : Calculs d’int´egrales multiples.
Calculer : (a)R
Dsin(x+y) dxdy ,D={(x, y)∈R2, x≥0, y≥0, x+y≤π}.
(b)R
Dxy2dxdy,D={(x, y)∈R2, 0≤x≤2, −1≤y≤1, x2+y2 ≥1}.
(c)R
D(1 +x2+y2) dxdy ,D={(x, y)∈R2, 1≤x2+y2 ≤2, x≥0}.
(d)R
D(1−x−y)z dxdydz ,D={(x, y, z)∈R3, x≥0, y≥0, z ≥0, x+y+z≤1}.
Exercice 3 : Volume d’un solide de l’espace.
Calculer le volume du solideS, avec S ={(x, y, z)∈R3, x≥0, y≥0, z2 ≤x2+y2 ≤1}.
Exercice 4 : Comparaison d’int´egrales.
On consid`ere la fonction
f(x, y) =e x+y+e−xy
sur le domaineD={(x, y)∈R2, 0≤x≤1, 0≤y−x≤1}.
(a) Donner le signe dexy pour (x, y)∈D et montrer que pour (x, y)∈D on a ex+y ≤f(x, y)≤ex+y+1
(b) En d´eduire un encadrement de R
Df(x, y)dxdy.
Exercice 5 : Equations diff´erentielles.
R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes (on donnera d’abord la solution g´en´erale de l’´equation lin´eaire homog`ene associ´ee) :
(a)y00(x) +y0(x)−2y(x) = 3xex (b)y00(x)−6y0(x) + 9y(x) = 27x2
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