Contrˆ ole continu n o 1

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Universit´e de Nantes. 2006/2007

Master 1 Probabilit´es

Contrˆ ole continu n ^o 1

14 f´evrier 2007

Exercice 1. Soit(Ω,F)un ensemble mesurable. On note B(R)la tribu des bor´eliens.

SoitX: (Ω,F)→Rune fonction. On suppose que pour tout B∈ B(R)tel que 06∈ B,

X⁻¹(B)∈ F.

1. Montrer que X⁻¹(R^?)∈ F et X⁻¹({0})∈ F.

2. En d´eduire queX est mesurable.

Exercice 2. Soient(Ω,F,P)un espace probabilisé etX une variable aléatoire de loi normale (i.e.X admet pour densité ϕ(x) =^√¹

2πe^−x²^/2).

1. Montrer que pour tout λ∈R,

E e^λX

=e^λ²^/2. 2. En utilisant l’in´egalit´e de Markov, montrer que pour tousλ >0, a >0,

P(X ≥a)≤e^−λa+^λ

2 2 .

3. En d´eduire que pour touta >0,

P(X ≥a)≤e^−a²^/2.

Exercice 3. SoitX une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé(Ω,F,P). On suppose queX∈ L¹. 1. SiE

e^X

<+∞, montrer l’in´egalit´e,

e^E^[X]≤E e^X

.

2. On suppose maintenant que la variable al´eatoireX est seulement L¹. (a) Montrer que pour toutN∈N,

e^E^[X∧N]≤E e^X∧N

,

o`uX∧N = inf(X, N).

(b) En d´eduire quee^E^[X] ≤E e^X

.

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