Devoirentempslibren 2 o

Fr´ ed´ eric Bertrand Magist` ere 2` eme ann´ ee - 2007/2008

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Exercice 1. Quantiles et comparaison d’estimateurs

D´ efinition 0.1. Soit X une variable al´ eatoire r´ eelle dont nous supposons la fonction de r´ epartition F continue et strictement croissante. Pour tout p ∈]0, 1[ nous appelons quantile d’ordre p et nous notons q

la racine (unique d’apr` es les hypoth` eses) de l’´ equation en x : F (x) = p, soit q

= F

(p). En particulier si p = 1/2, q

est appel´ ee m´ ediane et sera not´ ee me(X).

D´ efinition 0.2. Soit (X

, . . . , X

) un ´ echantillon al´ eatoire de loi parente X et (Y

, . . . , Y

) l’´ echantillon ordonn´ e associ´ e. Si p ∈]0, 1[ est tel que n × p n’est pas entier nous appelons quantile empirique d’ordre p et nous notons Q

(n) la variable al´ eatoire Y

, o` u [n × p] d´ esigne la partie enti` ere de [n × p].

Remarque 0.1. Si [n × p] est entier nous appellerons quantile d’ordre p toute variable al´ eatoire comprise entre Y

et Y

.

1. Soit X une variable al´ eatoire r´ eelle de fonction de r´ epartition F et (X

, . . . , X

) un ´ echantillon al´ eatoire de loi parente X. Soit E

l’´ ev´ enement {X < x}, x ∈ R . Que vaut P [E

] ? Nous posons R

(x) le nombre de r´ ep´ etitions de E

en n exp´ eriences ind´ ependantes. Pour x ∈ R fix´ e, quelle est la loi de R

(x) ? D´ efinition 0.3. En fonction de x ∈ R , F

(x) = R

(x)/n, o` u R

(x) est d´ efini ` a la question 1., d´ efinit une fonction al´ eatoire appel´ ee fonction de r´ epartition empirique associ´ ee ` a X bas´ ee sur l’´ echantillon (X

, . . . , X

).

2. En utilisant la loi forte des grands nombres, montrez que, pour x ∈ R fix´ e, F

(x)

→ F (x).

3. Montrer que si X est une variable al´ eatoire r´ eelle dont la fonction de r´ epartition F est continue strictement croissante alors :

Q

(n)

→ q

, n → +∞.

Vous pourrez utiliser le th´ eor` eme de Glivenko-Cantelli dont l’´ enonc´ e est le suivant.

Th´ eor` eme 0.1. Pour P −presque tout ω, la suite des fonctions de r´ epartition F

(·, ω) converge uniform´ ement vers F , autrement dit, nous avons

P − p.s. lim

n

sup

x∈R

|F

(x, ·) − F (x)| = 0.

4. Soit X une variable al´ eatoire admettant une densit´ e continue f > 0, alors la variable al´ eatoire T

= √

n (Q

− q

) poss` ede la propri´ et´ e suivante :

T

→ N

0,

p p(1 − p) f (q

)

! .

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5. D´ eduire de la question 4. que si l’´ echantillon al´ eatoire (X

, . . . , X

) a pour loi parente X une loi normale centr´ ee r´ eduite alors √

nQ

suit asymptotiquement une normale N (0, p

π/2). Montrez que X

= µ b

et Q

sont deux estimateurs convergents de la moyenne d’une loi normale N (µ, σ ). Lequel est-il le plus efficace ?

6. Qu’en est-il pour la loi logistique, dont la fonction de densit´ e est d´ efinie pour x ∈ R par f (x) = exp(−x)/(1 + exp(−x))

, et la loi de Laplace , dont la fonction de densit´ e est d´ efinie pour x ∈ R par f (x) = exp(−|x|)/2.

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