L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Chapitre XIII
Equations diff´ ´ erentielles
Table des mati` eres
1 Exponentielle complexe 2
2 Fonction de la variable r´eelle `a valeurs complexes 2
3 Equations diff´´ erentielles du type y0+ay= 0, o`ua∈R 3 4 Equations diff´´ erentielles du type y0+ay= 0, o`ua∈C 4 5 Equations diff´´ erentielles du type y0+a(x)y= 0, o`ua∈ C0(I,R), I intervalle de R 5 6 Equations diff´´ erentielles du type y0+a(x)y=b(x), o`ua, b∈ C0(I,R),I intervalle deR 6 7 Equations diff´´ erentielles du type y00+ay0+by= 0, o`ua, b∈R 7 8 Equations diff´´ erentielles du type y00+ay0+by=c(x), o`u a, b∈R,c∈ C0(I,R), I intervalle de
R 9
Rappel : SoitK∈ {R,C}. Si I est un intervalle r´eel, alors on noteF(I,K) l’ensemble des applications de I dansK. Nous avons vu qu’en d´efinissant l’addition par :
a:F(I,K)× F(I,K)→ F(I,K) ; (f, g)7→f+g et de la multiplication par un scalaire par :
m:K× F(I,K)→ F(I,K) ; (λ, f)7→λ.f
alors (F(I,K), a, m) est unK-espace vectoriel. Cette structure deK-vectoriel surF(I,K) jouera un rˆole impor- tant dans ce chapitre.
1 Exponentielle complexe
Rappel :Nous avons introduit l’exponentielle d’un nombre r´eel : ex pourx∈R et l’exponentielle d’un nombre imaginaire pur :
eix= cos(x) +isin(x) pourx∈R.
Nous ´etendons ci-dessous la d´efinition de l’exponentielle d’un nombre r´eel ou imaginaire pur au cas d’un nombre complexe quelconque.
D´efinition (exponentielle d’un nombre complexe) : Soitz∈C. Soit z=a+ibla forme alg´ebrique dez (on a donca= Re(z)∈Ret b= Im(z)∈R). On d´efinit l’exponentielle dez, not´ee ez, par :
ez := ea×eib
= ea×(cos(b) +isin(b)).
Exemple 1 :Soitz= ln(7) +iπ
2. Alors : ez=
Th´eor`eme 1 (propri´et´es de l’exponentielle d’un nombre complexe) 1. e0= 1
2. ∀z∈C, ∀z0∈C, ez.ez0 =ez+z0 3. ∀z∈C, ez6= 0
4. ∀z∈C, 1 ez =e−z 5. ∀z∈C, ez=ez
2 Fonction de la variable r´ eelle ` a valeurs complexes
D´efinition (partie r´eelle, partie imaginaire d’une fonction de la variable r´eelle `a valeurs dansC) : SoitIun intervalle r´eel et soitf: I→Cune fonction.
1. La partie r´eelle de la fonction f est la fonction not´ee Re(f) d´efinie par : Re(f) : I → R
x 7→ Re(f(x)).
2. La partie imaginaire de la fonction f est la fonction not´ee Im(f) d´efinie par : Im(f) : I → R
x 7→ Im(f(x)). .
Remarque 1 :On conserve les notations de la d´efinition pr´ec´edente. On a :
∀x∈I, f(x) = Re(f)(x) +iIm(f)(x).
Exemple 2 :Soitf la fonction d´efinie par :
f : R → C x 7→ e(−1+i)x.
Pour toutx∈R, on a :
f(x) =e(−1+i)x=e−x+ix=e−x×eix=e−x×(cos(x) +isin(x)) =e−xcos(x)
| {z }
∈R
+i e−x sin(x)
| {z }
∈R
.
Ainsi a-t-on :
Re(f) : R → R
x 7→ e−xcos(x) et Im(f) : R → R
x 7→ e−x sin(x).
D´efinition (d´erivation d’une fonction `a valeurs complexes) :SoitI un intervalle r´eel et soitf:I →C une fonction.
1. On dit que la fonction f est d´erivable sur I si les deux fonctions `a valeurs r´eelles Re(f) :I → R et Im(f) :I→Rsont d´erivables surI.
2. Si la fonctionf est d´erivable surI, alors on d´efinit la d´eriv´ee f0 def par : f0 : I → C
x 7→ Re(f)0(x) +iIm(f)0(x).
Exemple 2 (suite) : Montrer que la fonction
f : R → C x 7→ e(−1+i)x est d´erivable surRet que :
∀x∈R, f0(x) = (−1 +i)f(x).
Th´eor`eme 2 (d´erivabilit´e et d´eriv´ee de x7→eax, o`ua∈C). Soita∈C. Alors la fonction f : R → C
x 7→ eax
est d´erivable surRet sa d´eriv´ee f0: R→Cest donn´ee par :
∀x∈R, f0(x) =a eax.
Preuve du th´eor`eme 2
3 Equations diff´ ´ erentielles du type y
0+ ay = 0, o` u a ∈ R
D´efinition (´equation diff´erentielle lin´eaire, homog`ene, du 1er ordre, `a coefficient r´eel constant) 1. Une ´equation diff´erentielle lin´eaire, homog`ene, du 1erordre, `a coefficient r´eel constant est une ´equation du
type :
(E) : y0+ay= 0, o`u a∈R.
2. L’inconnue de (E) est une fonctiony:I→Rd´efinie et d´erivable sur un intervalleI deR.
3. Une solution de (E) sur un intervalle r´eel I est une fonction y: I → R, d´efinie et d´erivable sur I, telle que :
∀x∈I, y0(x) +a y(x) = 0.
Exemple 3 :L’´equation
(E) : y0+ 4y= 0
est une ´equation diff´erentielle lin´eaire, homog`ene, du 1erordre, `a coefficient r´eel constant. La fonction y : R → R
x 7→ e−4x
est une solution de (E) surR.
Th´eor`eme 3 (solutions d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire, homog`ene, du 1erordre, `a coefficient r´eel constant) :Soita∈R.
1. L’ensembleSol(E),R des solutions de l’´equation :
(E) : y0+ay= 0
surRest un sous-R-espace vectoriel de dimension 1 de F(R,R) dont une base est donn´ee par : R → R
x 7→ e−ax. 2. On a donc :
Sol(E),R=
y : R → R
x 7→ Ke−ax : K∈R
.
Preuve du th´eor`eme 3 :Cf. exercice 115.
Exemple 4 :R´esoudre surRl’´equation
(E) : y0+ 10y= 0.
4 Equations diff´ ´ erentielles du type y
0+ ay = 0, o` u a ∈ C
D´efinition (´equation diff´erentielle lin´eaire, homog`ene, du 1erordre, `a coefficient complexe constant) 1. Une ´equation diff´erentielle lin´eaire, homog`ene, du 1erordre `a coefficient complexe constant est une ´equation
du type :
(E) : y0+ay= 0, o`u a∈C.
2. L’inconnue de (E) est une fonctiony:I→Cd´efinie et d´erivable sur un intervalleI deR.
3. Une solution de (E) sur un intervalle r´eel I est une fonction y: I → C, d´efinie et d´erivable sur I, telle que :
∀x∈I, y0(x) +a y(x) = 0.
Exemple 5 :L’´equation
(E) : y0+ (2−i)y= 0
est une ´equation diff´erentielle lin´eaire, homog`ene, du 1erordre, `a coefficient complexe constant. La fonction y : R → C
x 7→ e−(2−i)x
est une solution de (E) surR(cf. th´eor`eme 1).
Th´eor`eme 4 (solutions d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire, homog`ene, du 1erordre, `a coefficient complexe constant) :Soita∈C.
1. L’ensembleSol(E),R des solutions de l’´equation :
(E) : y0+ay= 0
surRest un sous-C-espace vectoriel de dimension 1 de F(R,C) dont une base est donn´ee par : R → C
x 7→ e−ax.
2. On a donc :
Sol(E),R=
y : R → C
x 7→ Ke−ax : K∈C
.
Preuve du th´eor`eme 4 :Analogue `a celle du th´eor`eme 3.
Exemple 6 :R´esoudre surRl’´equation
(E) : y0+ (3−4i)y= 0.
5 Equations diff´ ´ erentielles du type y
0+ a(x)y = 0, o` u a ∈ C
0(I, R ), I intervalle de R
D´efinition (´equation diff´erentielle lin´eaire, homog`ene, du 1er ordre)
1. Une ´equation diff´erentielle lin´eaire, homog`ene, du 1erordre est une ´equation du type : (E) : y0+a(x)y= 0, o`ua:I→Rest une fonction C0 sur un intervalle IdeR. 2. L’inconnue de (E) est une fonctiony:I→Rd´efinie et d´erivable surI.
3. Une solution de (E) surIest une fonction y:I→R, d´efinie et d´erivable surI, telle que :
∀x∈I, y0(x) +a(x)y(x) = 0.
Exemple 7 :L’´equation
(E) : y0−2x y= 0
est une ´equation diff´erentielle lin´eaire, homog`ene, du 1erordre. La fonction y : R → R
x 7→ ex2
est une solution de (E) surR.
Th´eor`eme 5 (solutions d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire, homog`ene, du 1er ordre) : SoitI un intervalle r´eel et soita: I→Rune fonctionC0 surI.
1. L’ensembleSol(E),I des solutions de :
(E) : y0+a(x)y= 0
surRest un sous-R-espace vectoriel de dimension 1 de F(I,R) dont une base est donn´ee par :
I → R
x 7→ e−A(x)
o`uA:I→Rest une primitive deasurI (dont l’existence est assur´ee par la continuit´e deasurI).
2. On a donc :
Sol(E),I=
y : I → R
x 7→ Ke−A(x) : K∈R
.
♥ Preuve du th´eor`eme 5
Remarque 2 :Soita∈R. En identifianta`a la fonction constante surR´egale `a a, et en remarquant que : R → R
x 7→ ax
est une primitive de la fonctiona, on voit que le th´eor`eme 5 redonne le th´eor`eme 3.
Exemple 8 :R´esoudre surRl’´equation
(E) : y0+ (x+ 1)y= 0.
6 Equations diff´ ´ erentielles du type y
0+ a(x)y = b(x), o` u a, b ∈ C
0(I, R ), I intervalle de R
D´efinition (´equation diff´erentielle lin´eaire, du 1erordre)
1. Une ´equation diff´erentielle lin´eaire, du 1erordre est une ´equation du type :
(E) : y0+a(x)y=b(x), o`ua: I→Ret b:I→Rsont deux fonctionsC0 sur un intervalleI deR. 2. L’inconnue de (E) est une fonctiony:I→Rd´efinie et d´erivableI.
3. Une solution de (E) surIest une fonction y:I→R, d´efinie et d´erivable surI, telle que :
∀x∈I, y0(x) +a(x)y(x) =b(x).
Exemple 9 :L’´equation
(E) : y0− 1 xy=x
est une ´equation diff´erentielle lin´eaire, homog`ene, du 1erordre. La fonction y : ]0,+∞[ → R
x 7→ x2
est une solution de (E) sur ]0,+∞[.
Th´eor`eme 6 (solutions d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire, du 1er ordre) :SoitI un intervalle r´eel et soienta:I→Retb:I→Rdeux fonctionsC0surI. On consid`ere l’´equation diff´erentielle :
(E) : y0+a(x)y=b(x) et l’´equation diff´erentielle homog`ene associ´ee :
(Eh) : y0+a(x)y= 0.
1. L’´equation (E) admet une solution surI.
2. Soityp:I→Rune solution particuli`ere de (E) surI.
(a) Siyh: I→Rest une solution de l’´equation (Eh) surI, alorsyp+yhest une solution de (E) surI.
(b) R´eciproquement, pour toute solutiony:I→Rde (E) surI, il existe une fonctionyh: I→Rsolution de (Eh) surItelle que :
y=yp+yh. (c) L’ensemble solutionSol(E),I de (E) surI est :
Sol(E),I = {yp+yh : yh solution de (Eh) surI}
=
y : I → R
x 7→ yp(x) +Ke−A(x) : K∈R
o`uA:I→Rest une primitive deasurI.
Preuve du th´eor`eme 6
♥ Remarque 3 (m´ethodes pour d´eterminer une solution particuli`ere yp) :On donne ici trois m´ethodes pour d´eterminer une solution particuli`ereyp d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire, du 1erordre
(E) : y0+a(x)y=b(x), o`ua:I→Retb:I→Rsont deux fonctionsC0 sur un intervalle IdeR. 1. On peut tout d’abord regarder si une fonction constante n’est pas solution particuli`ere de (E).
2. On peut ensuite regarder si une fonctionsimple commex7→xoux7→x2est solution particuli`ere de (E).
3. Si les deux pr´ec´edentes m´ethodes n’ont rien donn´e, on peut appliquer la m´ethode de la variation de la constante, i.e. chercheryp sous la forme :
yp : I → R
x 7→ K(x)×e−A(x)
o`uK:I→Rest une fonction d´erivable surI`a d´eterminer (ce qui n´ecessite quelque effort) et o`uA:I→R est une primitive de a sur I. La terminologie variation de la constante vient du fait que l’on consid`ere, dans cette m´ethode,K comme un nombre qui varie (plus exactement une fonction), alors que dans la cas d’une solution de l’´equation homog`ene associ´ee `a (E),Kest une constante.
Exemple 10 : Soit l’´equation diff´erentielle
(E) : y0+1
xy=x2. 1. R´esoudre l’´equation homog`ene associ´ee `a (E) sur ]0,+∞[.
2. D´eterminer une solution particuli`ere de (E) sur ]0,+∞[ par la m´ethode de la variation de la constante.
3. En d´eduire l’ensemble des solutions de (E) sur ]0,+∞[.
Th´eor`eme 7 (unicit´e de la solution d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire, du 1erordre, avec condi- tion initiale) :SoitI un intervalle r´eel. Soienta:I→Retb:I→Rdeux fonctionsC0 surI. Soitx0∈I et soity0∈R.
Il existe une unique solution surI de l’´equation
(E) : y0+a(x)y=b(x) telle quey(x0) =y0.
Id´ee de preuve du th´eor`eme 7 : La valeur condition y(x0) =y0 fixe la valeur de la constante K qui pa- ram´etrise les solutions de (E) (cf. th´eor`eme 6).
Exemple 10 (suite) :D´eterminer l’unique solution de l’´equation diff´erentielle (E) : y0+1
xy=x2 sur ]0,+∞[ telle que :y(1) = 0.
7 Equations diff´ ´ erentielles du type y
00+ ay
0+ by = 0, o` u a, b ∈ R
D´efinition (´equation diff´erentielle lin´eaire, homog`ene, du 2ndordre, `a coefficients r´eels constants) 1. Une ´equation diff´erentielle lin´eaire, homog`ene, du 2ndordre, `a coefficients r´eels constants est une ´equation
du type :
(E) : y00+ay0+by= 0, o`ua, b∈R.
2. L’inconnue de (E) est une fonctiony:I→Rd´efinie et deux fois d´erivable sur un intervalleIdeR. 3. Une solution de (E) sur un intervalle r´eel I est une fonctiony: I→R, d´efinie et deux fois d´erivable sur
I, telle que :
∀x∈I, y00(x) +a y0(x) +b y(x) = 0.
Exemple 11 : L’´equation
(E) : y00+y= 0
est une ´equation diff´erentielle lin´eaire, homog`ene, du 2ndordre, `a coefficients r´eels constants. La fonction y : R → R
x 7→ cos(x) est une solution de (E) surR.
Th´eor`eme 8 (solution d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire, homog`ene, du 2ndordre, `a coefficients r´eels constants) :Soient a, b∈R.
1. L’ensemble solutionSol(E),Rde :
(E) : y00+ay0+by= 0 surRest un sous-R-espace vectoriel de F(R,R) de dimension 2.
2. On nommepolynˆome caract´eristique de (E) le polynˆomeP =X2+aX+b . Soientλ1, λ2 les racines de P dansC.
• 1ercas :λ1, λ2∈Retλ16=λ2
(a) Les fonctions
R → R
x 7→ eλ1x et R → R x 7→ eλ2x forment une base deSol(E),R.
(b) On a donc :
Sol(E),R=
y : R → R
x 7→ K1eλ1x+K2eλ2x : K1, K2∈R
.
• 2`emecas :λ1, λ2∈Ret λ1=λ2
On poseλ=λ1=λ2. (a) Les fonctions
R → R
x 7→ eλx et R → R
x 7→ xeλx forment une base deSol(E),R.
(b) On a donc :
Sol(E),R=
y : R → R
x 7→ K1eλx+K2xeλx : K1, K2∈R
.
• 3`emecas :λ1, λ2∈C\R
On a donc λ2 =λ1. On introduit la forme alg´ebrique deλ1 =ρ+iω (on a ainsi ρ= Re(λ1)∈ Ret ω= Im(λ1)∈R).
(a) Les fonctions
R → R
x 7→ eρx cos(ωx) et R → R
x 7→ eρxsin(ωx) forment une base deSol(E),R.
(b) On a donc :
Sol(E),R=
y : R → R
x 7→ K1eρx cos(ωx) +K2eρx sin(ωx) : K1, K2∈R
.
Preuve du th´eor`eme 8
Exemple 12 : R´esoudre surRl’´equation
y00−3y0+ 2y= 0.
8 Equations diff´ ´ erentielles du type y
00+ ay
0+ by = c(x), o` u a, b ∈ R , c ∈ C
0(I, R ), I intervalle de R
D´efinition (´equation diff´erentielle lin´eaire, du 2ndordre, `a coefficients r´eels constants)
1. Une ´equation diff´erentielle lin´eaire, du 2ndordre, `a coefficients r´eels constants est une ´equation du type : (E) : y00+a y0+b y=c(x), o`ua, b∈Retc:I→Rest une fonctionC0 sur un intervalleI deR. 2. L’inconnue de (E) est une fonctiony:I→Rd´efinie et deux fois d´erivable surI.
3. Une solution de (E) surIest une fonction y:I→R, d´efinie et deux fois d´erivable sur I, telle que :
∀x∈I, y00(x) +a y0(x) +by(x) =c(x).
Exemple 13 : L’´equation
(E) : y00+y=x
est une ´equation diff´erentielle lin´eaire, du 2ndordre, `a coefficients r´eels constants. La fonction y : R → R
x 7→ x+ sin(x) est une solution de (E) surR.
Th´eor`eme 9 (solutions d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire, du 2nd ordre `a coefficients r´eels constants) :Soient a, b∈R. SoitI un intervalle r´eel et soitc:I →Ret une fonction C0 sur I. On consid`ere l’´equation diff´erentielle :
(E) : y00+a y0+b y=c(x) et l’´equation diff´erentielle homog`ene associ´ee :
(Eh) : y00+a y0+b y= 0.
1. L’´equation (E) admet une solution surI.
2. Soityp:I→Rune solution particuli`ere de (E) surI.
(a) Siyh: I→Rest une solution de l’´equation (Eh) surI, alorsyp+yhest une solution de (E) surI.
(b) R´eciproquement, pour toute solutiony:I→Rde (E) surI, il existe une fonctionyh: I→Rsolution de (Eh) surItelle que :
y=yp+yh. (c) L’ensemble solutionSol(E),I de (E) surI est :
Sol(E),I ={yp+yh : yh solution de (Eh) surI}.
Preuve du th´eor`eme 9
♥ Remarque 4 (m´ethode pour d´eterminer une solution particuli`ereyp lorsquec:x7→eνx, o`uν∈C) : Soienta, b∈Ret soitν ∈C. On consid`ere l’´equation diff´erentielle
(E) : y00+a y0+b y=eνx.
On note P =X2+aX+b le polynˆome caract´eristique de (E). On donne une m´ethode pour d´eterminer une solution particuli`ere yp de (E) surR, en distinguant plusieurs cas.
• 1ercas :ν n’est pas racine deP (i.e.P(ν)6= 0) Dans ce cas, on cherche yp sous la forme
yp : R → R x 7→ K eνx o`uK est une constante complexe.
• 2`emecas :ν est racine simple deP (i.e.P(ν) = 0 et le discriminant ∆ deP est non nul) Dans ce cas, on cherche yp sous la forme
yp : R → R x 7→ Kx eνx
o`uK est une constante complexe.
• 3`emecas :ν est racine double de P (i.e.P(ν) = 0 et le discriminant ∆ deP est nul)
yp : R → R x 7→ Kx2eνx o`uK est une constante complexe.
Exemple 14 : On se propose de r´esoudre l’´equation :
(E) : y00+y0+y= sin(3t) surR,en passant au champ complexe, comme suit.
1. R´esoudre l’´equation homog`ene associ´ee `a (E) surR. 2. (a) D´eterminer une solution particuli`ere de :
(E1) : y00+y0+y=e3it surR.
(b) D´eterminer une solution particuli`ere de :
(E2) : y00+y0+y=e−3it surR.
(c) En d´eduire une solution particuli`ere de (E) surR. 3. Donner l’ensemble solution de (E) surR.
Remarque 5 : Avec le passage au champ complexe, on voit que la m´ethode expos´ee dans la remarque 4.
permet aussi d’obtenir (en plusieurs ´etapes) des solutions particuli`eres d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire, du 2ndordre `a coefficients r´eels constants, lorsque le second membre est du type :
c(x) = cos(νx)
| {z }
eiνx+e−iνx 2
ou c(x) = sin(νx)
| {z }
eiνx−e−iνx 2i
.
Th´eor`eme 10 (unicit´e de la solution d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire, du 2nd ordre `a coeffi- cients r´eels constants, avec conditions initiales) :Soienta, b∈Ret soitc: I→Rune fonctionC0 sur un intervalleI deR. Soitx0∈Iet soient y0, y00∈R. Il existe une unique solution surRde l’´equation
(E) : y00+ay0+by=c(x) telle quey(x0) =y0 ety0(x0) =y00.
Id´ee de preuve du th´eor`eme 10 :Les conditionsy(x0) =y0 ety0(x0) =y00fixent les valeurs des constantes K1et K2qui param´etrisent les solutions de (E) (cf. th´eor`eme 8).