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Fonction d’une variable r´eelle, convexit´e Plan de cours

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Academic year: 2022

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Programme de colles MP2 Semaine 6 (04-10 novembre 2016)

Fonction d’une variable r´ eelle, convexit´ e

Plan de cours

Pour ce chapitre constitu´e essentiellement de r´evisions, on demande les ´enonc´es des th´eor`emes, et non leur d´emonstration (sauf exception indiqu´ee).

Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires.

Image continue d’un segment.

Une fonction continue et injective (d´efinie sur un intervalle et `a valeurs r´eelles) est strictement monotone (d´emonstration).

Liens entre continuit´e, uniforme continuit´e, caract`ere lipschitzien.

D´erivabilit´e : ´equivalence en termes deDL1 Th´eor`eme de Rolle.

Egalit´´ e des accroissements finis.

D´erivabilit´e et (stricte) monotonie.

Convexit´e des fonctions d’une variable r´eelle `a valeurs r´eelles : d´efinition, in´egalit´e de convexit´e g´en´eralis´ee.

Lemme des trois pentes.

Caract´erisations de convexit´e pour les fonctions d´erivables (d´emonstration).

Exemples d’in´egalit´es de convexit´e.

Exercices

Exercices sur la continuit´e, la d´erivation des fonctions d’une variable r´eelle `a valeurs r´eelles, la convexit´e.

Références

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