Programme de colles MP2 Semaine 6 (04-10 novembre 2016)
Fonction d’une variable r´ eelle, convexit´ e
Plan de cours
Pour ce chapitre constitu´e essentiellement de r´evisions, on demande les ´enonc´es des th´eor`emes, et non leur d´emonstration (sauf exception indiqu´ee).
Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires.
Image continue d’un segment.
Une fonction continue et injective (d´efinie sur un intervalle et `a valeurs r´eelles) est strictement monotone (d´emonstration).
Liens entre continuit´e, uniforme continuit´e, caract`ere lipschitzien.
D´erivabilit´e : ´equivalence en termes deDL1 Th´eor`eme de Rolle.
Egalit´´ e des accroissements finis.
D´erivabilit´e et (stricte) monotonie.
Convexit´e des fonctions d’une variable r´eelle `a valeurs r´eelles : d´efinition, in´egalit´e de convexit´e g´en´eralis´ee.
Lemme des trois pentes.
Caract´erisations de convexit´e pour les fonctions d´erivables (d´emonstration).
Exemples d’in´egalit´es de convexit´e.
Exercices
Exercices sur la continuit´e, la d´erivation des fonctions d’une variable r´eelle `a valeurs r´eelles, la convexit´e.
