Notes de cours,

Chapitre 3

-convergence de fonctionnelles int´ egrale

3.1 Th´ eorie g´ en´ erale de la -convergence

On cherche `a d´efinir une notion de convergence variationnelle, appel´ee -convergence, qui rende stable les probl`emes de minimisation, autrement dit qui assure la convergence des minimiseurs ainsi que de la valeur minimale.

Dans cette section, on consid`ere un espace m´etrique (X, d) et (Fj)j2Nune suite de fonctionnelles Fj:X!R[{+1}. On souhaite d´efinir une limiteF de la suite (Fj)_j2Nqui satisfait les propri´et´es suivantes :

— siuj2X est telle queF(uj) = minXFj etuj!u, alorsF(u) = minXF;

— minXFj=Fj(uj)!F(u) = minXF.

D´efinition 3.1.1. On dit que la suite (Fj)j2N -converge versF si pour toutu2X : i) (borne inf´erieure)pour toute suite (uj)_j2N⇢X telle queuj!u, on a

F(u)lim inf

j!+1Fj(uj);

ii) (borne sup´erieure)il existe une suite (¯uj)_j2N⇢X telle que ¯uj!uet F(u) = lim

j!+1Fj(¯uj).

Le r´esultat fondamental de la -convergence est le suivant.

Th´eor`eme 3.1.2. Supposons que(Fj)j2N -converge versF. Si(uj)j2N est une suite d’´el´ements deX telle queuj !u etlimjFj(uj) = limjinfXFj, alorsu est un minimum deF et de plus,

F(u) = min

X F = lim

j!+1inf

X Fj. D´emonstration. Commeuj !u, alors d’apr`es la borne inf´erieure, on a

F(u)lim inf

j!+1Fj(uj).

Par ailleurs, pour toutv2X, il existe une suite (¯vj)_j2N telle que ¯vj !v etFj(¯vj)!F(v). Par cons´equent,

j!lim+1inf

X Fj lim

j!+1Fj(¯vj)F(v), 31

ce qui montre queF(u)F(v) pour toutv 2X et que F(u) = minXF limjinfXFj F(v) pour toutv2X. En prenantv=u, on obtient le r´esultat annonc´e.

A partir de la d´efinition, on obtient imm´ediatement les propri´et´es suivantes.

Remarque 3.1.3. 1. SiFj -converge versF, alorsF est semi-continue inf´erieurement dans X. En e↵et, soit u^k ! u, d’apr`es la borne sup´erieure, pour tout k 2N, on peut trouver une suite ¯u^k_j ! u^k telle que limjFj(¯u^k_j) = F(u^k). Par r´ecurrence, on construit une suite croissante ( k)_k2N d’entiers telle que pour toutk2N et pour toutj k,

d(¯u^kj, u^k) 1

k, |Fj(¯u^kj) F(u^k)| 1 k. D´efinissonsvj= ¯u^k_j si kj < k+1de sorte quevj !uet

F(u)lim inf

j!+1Fj(vj)lim inf

k!+1F k(v k)lim inf

k!+1F(u^k).

2. SiFj -converge versF, alors pour toute sous-suite (Fjk)k2N, on aFjk -converge versF. Pour montrer la borne inf´erieure, on consid`ere une suiteuk!uet on d´efinit

˜ uj=

(ujk sij=jk,

u sij6=jk pour toutk de sorte que ˜uj!uet donc

F(u)lim inf

j!+1Fj(˜uj)lim inf

k!+1Fjk(˜ujk) = lim inf

k!+1Fjk(uk).

Pour la borne sup´erieure, commeFj -converge versF, alors il existe une suite (¯uj)j2N⇢X telle que ¯uj!u et

F(u) = lim

j!+1Fj(¯uj) = lim

k!+1Fjk(¯ujk).

3. SiFj -converge versF etG:X!Rest continue, alorsFj+G -converge versF +G.

Une -limite n’existe pas toujours. Pour cette raison, il est utile de d’introduire les -limites inf´erieures et sup´erieures qui, elles, sont toujours bien d´efinies.

D´efinition 3.1.4. Pour toutu2X, on d´efinit les -limites inf´erieures et sup´erieures par F⁰(u) := inf

⇢ lim inf

j!+1Fj(uj) : uj!u , F⁰⁰(u) := inf

⇢ lim sup

j!+1 Fj(uj) : uj !u . respectivement.

On a alors le r´esultat suivant

Proposition 3.1.5.La suite(Fj)j2N -converge si et seulement siF⁰=F⁰⁰, auquel cas, la -limite est donn´ee par cette fonctionnelle commune.

D´emonstration. Supposons que (Fj)j2N -converge vers une fonctionnelleF et montrons queF = F⁰=F⁰⁰. Remarquons qu’on a toujoursF⁰F⁰⁰. Par cons´equent, il suffit de montrer queF F⁰ etF⁰⁰F. D’apr`es la borne inf´erieure, on a pour toutu2X et pour toute suiteuj!u,

F(u)lim inf

j!+1Fj(uj).

3.1. TH ´EORIE G ´EN ´ERALE DE LA -CONVERGENCE 33 Par passage `a l’infimum sur toutes les suites (uj)j2N qui convergent versu et par d´efinition de la -limite inf´erieure, il vientF F⁰. Par ailleurs, la borne sup´erieure montre l’existence d’une suite

¯

uj!utelle que

F(u) = lim

j!+1Fj(¯uj) = lim sup

j!+1 Fj(¯uj) F⁰⁰(u), ce qui conclut la preuve de la condition n´ecessaire.

Montrons `a pr´esent la condition suffisante. On suppose alors queF⁰ =F⁰⁰ et on veut montrer que (Fj)j2N -converge vers cette fonctionnelle commune not´ee F. Par d´efinition de la -limite inf´erieure, on a pour toutu2X et pour toute suiteuj!u,

F(u) =F⁰(u)lim inf

j!+1Fj(uj),

ce qui montre la borne inf´erieure. Pour ´etablir la borne sup´erieure, nous allons montrer que l’exis- tence d’une suite ¯uj!utelle que

lim sup

j!+1Fj(¯uj)F⁰⁰(u) =F(u).

Il suffit de consid´erer que le cas o`uF⁰⁰(u)<+1. Pour toutk2N, on peut alors trouver une suite u^k_j !utelle que

lim sup

j!+1Fj(u^k_j)F⁰⁰(u) +1 k.

Par r´ecurrence, on construit une suite croissante ( k)k2N telle que pour tout k2N et pour tout j k,

d(u^k_j, u) 1

k, Fj(u^k_j)F⁰⁰(u) +2 k.

On pose alors ¯uj=u^k_j si k j < k+1de sorte que ¯uj !uet lim sup_jFj(¯uj)F⁰⁰(u).

Dans les espaces m´etriques s´eparables, la -convergence jouit d’une propri´et´e de compacit´e.

Proposition 3.1.6.Soit(X, d)un espace m´etrique s´eparable et(Fj)_j2Nune suite de fonctionnelles Fj:X!R[{+1}. Alors il existe une sous-suite(Fjk)k2N etF :X!R[{+1}telles queFjk

-converge versF.

D´emonstration. Comme X est s´eparable, il existe une base d´enombrable de voisinages not´ee {Ui}i2N. Par un principe d’extraction diagonal, on peut extraire une sous-suite (Fjk)k2N telle que la limite

k!lim+1inf

Ui

Fjk

existe pour touti2N. Pour toutu2X, on d´efinit les -limites inf´erieures et sup´erieures associ´ees

`

a cette sous-suite, F⁰(u) := inf

⇢ lim inf

k!+1Fjk(xk) :xk!x , F⁰⁰(u) := inf

⇢ lim sup

k!+1Fjk(xk) :xk!x . D’apr`es la Proposition 3.1.5, il suffit de montrer que F⁰ = F⁰⁰. Notons qu’on a toujours par d´efinitionF⁰ F⁰⁰. Il s’agit de montrer l’autre in´egalit´e. Soientu2X eti2Ntels queu2Ui. Si uk!u, on auk 2Ui pourkassez grand et, par cons´equent,

k!lim+1inf

Ui

Fjklim inf

k!+1Fjk(uk),

soit

sup

{i2N:u2Ui}

lim sup

k!+1inf

Ui

FjkF⁰(u).

Comme{Ui}ⁱ2N est une base de voisinages, on a que

{i2N:supu2Ui}

lim sup

k!+1

infUi

Fjk sup

n2Nlim sup

k!+1

inf

d(u,v)<¹_nFjk(v).

Pour toutn2N, on peut donc trouver n2N tel que pour toutk n, on a

d(u,v)inf n¹

Fjk(v)F⁰(u) +1 n.

Il existe alorsv_kⁿ2X tel qued(u, vⁿ_k) ¹n avec

Fjk(v_kⁿ)F⁰(u) + 2 n. On pose ¯vk=v_kⁿsi nk < n+1, de sorte que ¯vk!uet

F⁰⁰(u)lim sup

k!+1Fjk(¯vk)F⁰(u), ce qui montre e↵ectivement queF⁰=F⁰⁰.

La -convergence poss`ede ´egalement la propri´et´e d’Urysohn.

Proposition 3.1.7. La suite (Fj)j2N -converge versF si et seulement si pour toute sous-suite, il existe une sous-suite qui -converge versF.

D´emonstration. Nous avons d´ej`a vu `a la Remarque3.1.3-2 que siFj -converge versF, alors pour toute sous-suite (Fjk)k2N, on aFjk -converge versF.

R´eciproquement, supposons queFj ne -converge pas versF. Cela signifie que soit il existe une suite ¯uj !utelle que lim infjFj(¯uj)< F(u), soit lim sup_jF(uj)> F(u) pour toute suiteuj !u.

Dans le premier cas, on extrait une sous-suite telle que limkFjk(¯ujk) = lim infjFj(¯uj) < F(u).

Par hypoth`ese, de cette sous-suite, on peut encore extraire une sous-suite telle queFj_kl -converge versF et, en particulier,

F(u)lim inf

l!+1Fj_kl(¯uj_kl) = lim

l!+1Fj_kl(¯uj_kl) = lim

k!+1Fjk(¯ujk), ce qui est absude.

Dans le second cas, il existe un voisinage U dev tel que F(u) < lim sup_jinfUFj. On extrait alors une sous-suite telle que limkinfUFjk = lim sup_jinfUFj. Par hypoth`ese, de cette sous-suite, on peut encore extraire une sous-suite telle que Fj_kl -converge vers F. Il existe alors une suite

¯

ul!u(et doncul2U pour lassez grand) telle que F(u) = lim

l!+1Fj_kl(ul) lim

l!+1inf

U Fj_kl = lim

k!+1inf

U Fjk, ce qui est absude.

3.2. APPLICATIONS AUX FONCTIONNELLES INT ´EGRALE 35

3.2 Applications aux fonctionnelles int´ egrale

Pour tout">0, on consid`ere une fonction de Carath´eodoryf":⌦⇥R^d⇥N !Rsatisfaisant des propri´et´es de croissance et coercivit´e uniformes :

|⇠|^pf"(x,⇠)⇤(1 +|⇠|^p) p.p. toutx2⌦et pour tout⇠2R^d⇥N, (3.2.1)

o`u >0,⇤>0 et 1< p <1. On d´efinit la fonctionnelleF":L^p(⌦;R^d)![0,+1] par

F"(u) =

8<

: Z

⌦

f"(x,ru)dx siu2W^1,p(⌦;R^d),

+1 sinon.

(3.2.2)

On s’int´eresse `a la -convergence de cette famille de fonctionnelles dansL<sup>p</sup>(⌦;R<sup>d</sup>). A ce niveau de g´en´eralit´e, il ne s’agit pas d’identifier la -limite, mais au moins de se demander siF est toujours une fonctionnelles int´egrale du mˆeme type. Nous allons montrer le r´esultat de compacit´e suivant : Th´eor`eme 3.2.1. Soient ⌦ ⇢ R^N un ouvert born´e et 1 < p < 1. Soit f" : ⌦⇥R^d⇥N ! R une famille de fonctions de Carath´eodory satisfaisant (3.2.1) et F" : L^p(⌦;R^d) ! [0,+1] la fonctionnelle d´efinie par (3.2.2). Alors, pour toute suite ("j)j2N, il existe une sous-suite ("jn)n2N

et une fonction de Carath´eodory f : ⌦⇥R^d⇥N ![0,+1)satisfaisant les mˆemes propri´et´es de croissance et coercivit´e que f", tels que la fonctionnelle F"_jn -converge dans L^p(⌦;R^d) vers la fonctionnelleF :L^p(⌦;R^d)![0,+1]donn´ee par

F(u) = 8<

: Z

⌦

f(x,ru)dx si u2W^1,p(⌦;R^d),

+1 sinon.

L’id´ee consiste `a localiser F" sur la famille des sous ensembles ouverts de⌦ not´eeA(⌦). Pour toutu2L^p(⌦;R^d) et toutA2A(⌦),

F"(u, A) =

8<

: Z

A

f"(x,ru)dx siu2W^1,p(A;R^d),

+1 sinon.

Un bon substitut `aA(⌦) estR(⌦) qui est l’ensemble des unions finies de cubes de cˆot´es rationnels et de centre rationnel contenus dans⌦. La familleR(⌦) est d´enombrable et, de plus, pour toutA, B2A(⌦) avecA⇢B, il existeR2R(⌦) tels queA⇢R⇢R⇢B.

Comme L^p(⌦;R^d) est un espace m´etrique s´eparable, pour toute suite ("j)_j2N, la Proposition 3.1.6 coupl´e `a un argument de diagonalisation de sous-suite montre que l’on peut extraire une sous-suite, not´ee ("n⌘"jn)n2Ntelle que, si l’on d´efinit pour tout (u, A)2L^p(⌦;R^d)⇥A(⌦),

F(u, A) = inf

⇢ lim inf

n!+1F"n(un, A) : un!udansL^p(A;R^d) ,

alorsF(·, C) est la -limite deF"n(·, C) pour tout C2R(⌦) et pourC=⌦.

Commen¸cons par d´eterminer le domaine de la -limite. Soitu 2L^p(⌦;R^d) tel que F(u,⌦)<

+1, d’apr`es la borne sup´erieure, il existe une suite (¯un)n2N telle que ¯un!udansL^p(⌦;R^d) et F(u,⌦) = lim

n!+1F"n(¯un,⌦).

D’apr`es la propri´et´e de coercivit´e, on en d´eduit que la suite (r¯un)n2Nest born´ee dansL^p(⌦;R^d⇥N) ce qui implique que ¯un * u faiblement dans W^1,p(⌦;R^d) avec u 2 W^1,p(⌦;R^d). Ceci montre

que F(u,⌦) = +1 pour tout u 2 L^p(⌦;R^d)\W^1,p(⌦;R^d). On est donc ramen´e `a ´etudier la -convergence dansW^1,p(⌦;R^d).

D’apr`es la borne sup´erieure, siu2W^1,p(⌦;R^d), il existe une suite (¯un)n2N ⇢W^1,p(⌦;R^d) telle

queF"n(¯un,⌦)!F(u,⌦)<+1. Par cons´equent, la suite de mesures

µn=f"n(·,ru¯n)L^N

est born´ee dansM(⌦) et, quitte `a extraire une autre sous-suite, on peut toujours supposer que µn*µfaible* dansM(⌦).

Proposition 3.2.2. Pour tout A, B, C2A(⌦), on a i) F(u, A)F(u, A\C) +F(u, B)siC ⇢B⇢A;

ii) pour tout >0 il existeC 2A(⌦)avecC ⇢AetF(u, A\C ) ; iii) µ(⌦)F(u,⌦);

iv) F(u, A)µ(A)siA⇢⌦.

D´emonstration. Commeµn*µfaible* dansM(⌦) et⌦ est ouvert, µ(⌦)lim inf

n!+1µn(⌦) = lim

n!+1F"n(¯un,⌦) =F(u,⌦),

ce qui ´etablit (iii).

Comme ¯un!ufortement dansL^p(A;R^d),µn *µfaible* dansM(⌦) etAest compact, on a d’apr`es la borne inf´erieure,

F(u, A)lim inf

n!+1F"n(¯un, A)lim sup

n!+1µn(A)µ(A), ce qui ´etablit (iv).

Par r´egularit´e int´erieure de la mesure ⇤(1 +|ru|^p)L^N, pour tout >0, il existe un compact K ⇢Atel que

⇤ Z

A\K

(1 +|ru|^p)dx . SoitC 2A(⌦) tel queK ⇢C ⇢C ⇢A. Alors, on a

⇤ Z

A\C

(1 +|ru|^p)dx .

En prenant la suite stationnaireun=uet en utilisant la propri´et´e de croissance (3.2.1), il vient F(u, A\C )lim inf

n!+1F"n(u, A\C )⇤

Z

A\C

(1 +|ru|^p)dx , ce qui d´emontre (ii).

Il reste `a ´etablir la sous-additivit´e (i). Soit R0 2 R(⌦) tel que C ⇢ R0 ⇢ R0 ⇢ B. Comme F(·, R0) est la -limite de F"n(·, R0), il existe une suite (un)n2N dans W^1,p(R0;R^d) telle que un!u dansL^p(R0;R^d) et

n!+1lim F"n(un, R0) =F(u, R0).

Par ailleurs, pour tout 0<⌘<dist(C,@R0)/2, il existe une suite (vn)n2N⇢W^1,p(A\C;R^d) telle quevn!udansL^p(A\C;R^d) et

lim inf

n!+1F"n(vn, A\C)F(u, A\C) +⌘.

3.2. APPLICATIONS AUX FONCTIONNELLES INT ´EGRALE 37 Nous allons construire une suite (wn)n2N dansW^1,p(A;R^d) telle que wn !u dans L^p(A;R^d) en raccordant les suitesvn etun l`a o`u leurs supports s’intersectent surR0\C. Pour ce faire, on d´efinit la suite de mesures

⌫n:= (1 +|run|^p+|rvn|^p) _R0\CL^N

qui satisfait lim infn⌫n(⌦)< 1. Par cons´equent, il existe une sous-suite (⌫nk)_k2N et une mesure postive⌫2M(R0\C) telles que⌫nk* ⌫faible* dansM(R0\C). On peut par ailleurs ´egalement supposer que, pour cette mˆeme sous-suite, on a lim infnF"n(vn, A\C) = limkF"_nk(vnk, A\C).

Pour tout 0 < t < dist(C,@R0), on d´efinit Rt := {x 2R0 : dist(x,@R0) > t} et, pour tout 0< <⌘, L =R⌘ \R⌘+ . On consid`ere une fonction cut-o↵ ⇣ 2Cc¹(⌦) telle que 0⇣ 1,

⇣= 1 surR⌘+ ,⇣ = 0 sur⌦\R⌘ et|r⇣|C/ . On d´efinit alors

wn:=⇣un+ (1 ⇣)vn2W^1,p(A;R^d), wn!udansL^p(A;R^d).

Par cons´equent, d’apr`es la propri´et´e de croissance, F(u, A)lim inf

n!+1F"n(wn, A)lim inf

k!+1F"_nk(wnk, A)

lim inf

k!+1

⇢

F"_nk(unk, R⌘+ ) +F"_nk(vnk, A\R⌘ ) +C⌫nk(L ) + C

p

Z

L |unk vnk|^pdx . CommeR⌘+ ⇢R0,C ⇢R⌘ etun vn!0 dansL^p(L ;R^d), on en d´eduit que

F(u, A) lim

k!+1F"_nk(unk, R0) + lim

k!+1F"_nk(vnk, A\C) +Clim sup

k!+1⌫nk(L )

F(u, R0) +F(u, A\C) +⌘+C⌫(L ).

En faisant tendre !0, il vient

F(u, A)F(u, R0) +F(u, A\C) +⌘+C⌫(@R⌘).

Comme les ensembles{@R⌘}⌘>0sont deux `a deux disjoints, l’ensemble{⌘>0 : ⌫(@R⌘)>0} est au plus d´enombrable et on peut trouver une suite⌘i!0 telle que⌫(@R⌘i) = 0 pour touti2N. Il vient alors en rempla¸cant⌘par⌘i dans l’expression pr´ec´edente et en faisant tendrei!+1que

F(u, A)F(u, A\C) +F(u, R0)F(u, A\C) +F(u, B), ce qui d´emontre (i).

Lemme 3.2.3.Pour toutu2W^1,p(⌦;R^d), la fonction d’ensembleF(u,·)est la restriction `aA(⌦) de la mesure de Radonµ.

D´emonstration. Nous allons montrer queF(u, A) =µ(A) pour toutA2A(⌦).

Pour tout >0 soit C 2A(⌦) tel queC ⇢ A⇢ ⌦ etF(u, A\C) . SiB 2A(⌦) satisfait C⇢B⇢B⇢A, alors

F(u, A)F(u, B) +F(u, A\C)µ(B) + µ(A) + , et on obtientF(u, A)µ(A) en faisant tendre !0.

Pour montrer l’autre in´egalit´e, on utilise la r´egularit´e int´erieure deµqui assure, pour tout >0, l’existence d’un compactK⇢Atel queµ(A)µ(K) + . SoitC2A(⌦) tel queK ⇢C⇢C⇢A de sorte queµ(A)µ(C) + . Alors, commeC⇢A⇢⌦,

µ(A) +µ(⌦) µ(⌦\C) +F(u,⌦) F(u,⌦\C) +F(u, A), ce qui conclut la preuve en faisant tendre !0.

Montrons `a pr´esent un r´esultat de repr´esentation int´egrale dˆu `a Dal Maso et Buttazzo qui donne des conditions suffisantes pour qu’une fonctionnelleu7!F(u) soit du type

Z

⌦

f(x,ru)dx.

Th´eor`eme 3.2.4. Soit ⌦ ⇢R^N un ouvert born´e, 1 p < 1. Soit F :W^1,p(⌦;R^d)⇥A(⌦)! [0,+1)une fonctionnelle satisfaisant les conditions

i) (localit´e)F(u, A) =F(v, A)si u=v p.p. surA2A(⌦);

ii) (propri´et´e de mesure) pour tout u 2 W^1,p(⌦;R^d) la fonction d’ensemble F(u,·) est la restriction `a A(⌦)d’une mesure de Radon ;

iii) (condition de croissance) il existe⇤>0 tel que pour tout(u, A)2W^1,p(⌦;R^d)⇥A(⌦), F(u, A)⇤

Z

A

(1 +|ru|^p)dx;

iv) invariance par translation) pour tout(u, A)2W^1,p(⌦;R^d)⇥A(⌦)et toutz2R^d, F(u+z, A) =F(u, A);

v) (semi-continuit´e inf´erieure) pour toutA2A(⌦), F(·, A)est semi-continue inf´erieurement pour la convergence forte deL^p(⌦;R^d).

Alors il existe une fonction de Carath´eodoryf :⌦⇥R^d⇥N ![0,+1)satisfaisant la condition de croissance

0f(x,⇠)⇤(1 +|⇠|^p) p.p. toutx2⌦ et pour tout⇠2R^d⇥N, telle que

F(u, A) = Z

A

f(x,ru)dx pour tout(u, A)2W^1,p(⌦;R^d)⇥A(⌦).

D´emonstration. Etape 1 : D´efinition de f. Fixons ⇠ 2 R^d⇥N et notons ˆu⇠(x) = ⇠x pour toutx2⌦. Comme F(ˆu⇠,·) peut s’´etendre en une mesure de Radon sur ⌦ qui, d’apr`es (iii), est absolument continue par rapport `a la mesure de Lebesgue. En posant

f(x,⇠) := lim sup

⇢!0

F(ˆu⇠, B⇢(x))

!N⇢^N

le th´eor`eme de di↵´erentiation de Lebesgue montre quef(·,⇠)2L¹(⌦) et que pour toutA2A(⌦), F(ˆu⇠, A) =

Z

A

f(x,⇠)dx.

Etape 2 : Repr´esentation int´egrale sur les fonctions continues affines par morceaux.

SoitA2A(⌦) etu2W^1,p(⌦;R^d) une fonction affine par morceaux. On peut donc ´ecrire u(x) =

Xm i=1

(⇠ix+zi) Ai(x)

o`u⇠1, . . . ,⇠m 2R<sup>d⇥N</sup>,z1, . . . , zm 2R<sup>d</sup> et A1, . . . , Am sont des ouverts deux `a deux disjoints tels que|⌦\Sm

i=1Ai|= 0. D’apr`es (i), (ii), (iv) et l’´etape 1, on a F(u, A) =

Xm i=1

F(u, Ai) = Xm i=1

F(ˆu⇠i+zi, Ai) = Xm i=1

F(ˆu⇠i, Ai)

= Xm i=1

Z

Ai

f(x,⇠i)dx= Xm i=1

Z

Ai

f(x,ru)dx= Z

A

f(x,ru)dx.

3.2. APPLICATIONS AUX FONCTIONNELLES INT ´EGRALE 39 Etape 3 : Rang-1-convexit´e def.Soient⇠ et⌘2R^d⇥N telles que⌘ ⇠=a⌦bavec|b|= 1, on veut montrer que pour tout 2[0,1] et toutx2⌦,

f(x, ⌘+ (1 )⇠) f(x,⌘) + (1 )f(x,⇠).

Par d´efinition def, il suffit d’´etablir que pour tout⇢>0,

F(ˆu ⌘+(1 )⇠, B⇢(x)) F(ˆu⌘, B⇢(x)) + (1 )F(ˆu⇠, B⇢(x)). (3.2.3) On consid`ere la fonctionu2W_loc^1,1(R^N;R^d) d´efinie par

u(y) :=

(⇠y+ (b·y)a (1 )na sin2Z, nb·y < n+ ,

⇠y+ (1 +n) a sin2Z, n+ b·y < n+ 1.

On poseu"(y) ="u(y/") pour touty2R^N et tout">0. Un calcul imm´ediat montre que pour touty2R^N,

|u"(y) uˆ ⌘+(1 )⇠(y)| (1 )|a|",

ce qui montre que u" ! uˆ ⌘+(1 )⇠ fortement dans L^p(⌦;R^d). Par semi-continuit´e inf´erieure, il vient

F(ˆu ⌘+(1 )⇠, B⇢(x))lim inf

"!0 F(u", B⇢(x)),

et comme ˆu ⌘+(1 )⇠ est affine et u" est affine par morceaux, on en d´eduit que Z

B⇢(x)

f(y, ⌘+ (1 )⇠)dylim inf

"!0

Z

B⇢(x)

f(y,ru"(y))dy= lim inf

"!0

Z

B⇢(x)

f⇣

y,ru⇣y

"

⌘⌘

dy.

En notant E⌘= [

n2Z

{y2R^N : nb·y < n+ }, E⇠= [

n2Z

{y2R^N : n+ b·y < n+ 1}, alors on a

ru"(y) =⌘ E⌘

⇣y

"

⌘ +⇠ E⇠

⇣y

"

⌘ et donc

f(y,ru"(y)) =f(y,⌘) E⌘

⇣y

"

⌘+f(y,⇠) E⇠

⇣y

"

⌘.

SiY est le cube unit´e deR^N dont deux faces sont orthogonales au vecteurb, on a que les fonctions

E⌘ et E⇠ sontY-p´eriodiques. Le Th´eor`eme de Riemann-Lebesgue assure alors que

E⌘

⇣·

"

⌘

* Z

Y

E⌘(y)dy= , E⇠

⇣·

"

⌘

* Z

Y

E⇠(y)dy= 1 faible* dansL¹(⌦) et donc comme f(·,⇠),f(·,⌘)2L¹(⌦), il vient

Z

B⇢(x)

f(y,ru"(y))dy!

Z

B⇢(x)

f(y,⌘)dy+ (1 ) Z

B⇢(x)

f(y,⇠)dy, ce qui montre que

Z

B⇢(x)

f(y, ⌘+ (1 )⇠)dy Z

B⇢(x)

f(y,⌘)dy+ (1 ) Z

B⇢(x)

f(y,⇠)dy

qui correspond exactement `a (3.2.3).

En particulier, d’apr`es la Proposition2.2.8,f(x,·) est continue pour presque toutx2⌦ ce qui montre quef est une fonction de Carath´eodory. Par ailleurs, comme pour toutx2⌦et⇠2R^d⇥N fix´e, on a 0F(ˆu⇠, B⇢(x))⇤(1 +|⇠|^p)!N⇢^N, on en d´eduit que

0f(x,⇠)⇤(1 +|⇠|^p) pour toutx2⌦ et tout⇠2R^d⇥N.

Etape 4 : Une in´egalit´e par continuit´e. Soient u2W^1,p(⌦;R^d) et A2A(⌦). Pour tout

> 0 il existe C 2 A(⌦) tel que C ⇢ A et F(u, A\C)  . On peut trouver une suite de fonctions (un)n2N⇢W^1,p(⌦;R^d) telle queun|^C est affine par morceaux etun!ufortement dans W^1,p(⌦;R^d). D’apr`es l’´etape 2, on a pour toutn2N,

F(un, C) = Z

C

f(x,run)dx.

Par passage `a la limite quand n ! +1, d’apr`es (v) et la continuit´e de v 2 W^1,p(C;R^d) 7!

R

Cf(x,rv)dx, on en d´eduit que

F(u, A) F(u, C) Z

C

f(x,ru)dx Z

A

f(x,ru)dx, et l’in´egalit´e vient par passage `a la limite quand !0.

Etape 5 : Egalit´e par translation.Soitu2W^1,p(⌦;R^d), on d´efinitG:W^1,p(⌦;R^d)⇥A(⌦)! [0,+1) par

G(v, A) =F(u+v, A)

qui satisfait les propri´et´es (i)–(v) du th´eor`eme (avec une constante⇤di↵´erente). Par cons´equent, il existe une fonction de Carath´eodoryg:⌦⇥R^d⇥N ![0,+1) telle que

G(v, A) Z

A

g(x,rv)dxpour tout (v, A)2W^1,p(⌦;R^d)⇥A(⌦),

avec ´egalit´e sivest affine par morceaux. SiC 2A(⌦) est tel queC ⇢Aet (un)n2N est une suite de fonctions dans W^1,p(⌦;R^d) telle que un|C est affine par morceaux etun !ufortement dans W^1,p(⌦;R^d), alors

Z

C

g(x,0)dx=G(0, C) =F(u, C) Z

C

f(x,ru)dx

= lim

n!+1

Z

C

f(x,run)dx= lim

n!+1F(un, C) = lim

n!+1G(un u, C)

 lim

n!+1

Z

C

g(x,run ru)dx= Z

C

g(x,0)dx, ce qui implique que toutes les in´egalit´es sont des ´egalit´es, et donc

F(u, C) = Z

C

f(x,ru)dx.

On obtient finalement que

F(u, A) = Z

A

f(x,ru)dx en passant au supremum parmi tous lesC2A(⌦) tels queC⇢A.

3.2. APPLICATIONS AUX FONCTIONNELLES INT ´EGRALE 41 Nous sommes `a pr´esent en mesure de donner une d´emonstration du Th´eor`eme3.2.1.

D´emonstration du Th´eor`eme3.2.1. On sait d´ej`a que F"n(·,⌦) -converge vers une fonctionnelle F(·,⌦) qui est ´egale `a +1sur L^p(⌦;R^d)\W^1,p(⌦;R^d).

D’apr`es la Remarque3.1.3, cette fonctionnelle est semi-continue inf´erieurement dansL^p(⌦;R^d).

Par ailleurs, si u 2 W^1,p(⌦;R^d), la fonction d’ensemble F(u,·) est la restriction `a A(⌦) d’une mesure de Radon. Les propri´et´es de localit´e, de croissance et d’invariance par translation sont

´evidentes. La conclusion provient donc d’une application directe du Th´eor`eme3.2.4.

Remarque 3.2.5. La preuve du Th´eor`eme 3.2.1 montre que pour tout ⌘ > 0 et tout (u, A) 2 W^1,p(⌦;R^d)⇥A(⌦), il existe une suite (un)_n2N dansW^1,p(A;R^d) telle que

lim inf

n!+1

Z

A

f"n(x,run)dx

Z

A

f(x,ru)dx+⌘.

SiA=⌦o`uA2R(⌦), on sait par construction queF(·, A) est la -limite deF"_jn(·, A) et donc qu’on peut trouver une suite (un)_n2N dansW^1,p(A;R^d) telle que

n!lim+1

Z

A

f"n(x,run)dx=

Z

A

f(x,ru)dx.

On peut mˆeme montrer que cette propri´et´e reste vraie pour toutA2A(⌦).

Nous terminons ce chapitre par un r´esultat de stabilit´e de probl`emes variationnels. Pour ce faire, nous aurons besoin de la proposition suivante qui affirme qu’on peut toujours supposer que les suites qui atteignent la borne sup´erieure ont la mˆeme valeur sur le bord que leur limite.

Proposition 3.2.6. Soitu2W^1,p(⌦;R^d), alors F(u,⌦) = infn

lim inf

n!+1F"n(un,⌦) : un!udansL^p(⌦;R^d)

etun=udans un voisinage de @⌦o

= infn lim sup

n!+1F"n(un,⌦) : un!udansL^p(⌦;R^d)

etun=udans un voisinage de @⌦o .

D´emonstration. On a clairement que F(u,⌦)  F⁰(u) := infn

lim inf

n!+1F"n(un,⌦) : un!udansL^p(⌦;R^d)

etun=udans un voisinage de@⌦o .

Il s’agit donc de montrer l’autre in´egalit´e. Soit (vn)n2N est une suite de W^1,p(⌦;R^d) telle que vn!udansL^p(⌦;R^d) et

lim inf

n!+1F"n(un,⌦)<+1.

On extrait alors une sous-suite (unk)_k2N telle que

k!+1lim F"_nk(unk,⌦) = lim inf

n!+1F"n(un,⌦).

On d´efinit la suite de mesures⌫k := (1 +|rvnk|^p+|ru|^p)L^N qui satisfait sup_k⌫k(⌦)<1. Par cons´equent, quitte `a extraire une nouvelle sous-suite, on a⌫k* ⌫ faible* dansM(⌦).

Pour tout t > 0, on d´efinit ⌦t := {x 2 ⌦ : dist(x,@⌦) > t} et, pour tout 0 < < t, L =⌦t \⌦t+ . On consid`ere une fonction cut-o↵⇣2Cc¹(⌦) telle que 0⇣1 dans⌦,⇣ = 1 sur⌦t+ ,⇣= 0 sur⌦\⌦t et|r⇣|C/ . On d´efinit alors

un:=⇣vn+ (1 ⇣)u2W^1,p(⌦;R^d), un!udansL^p(⌦;R^d).

Par cons´equent, commeun=usur⌦\⌦t , il vient F⁰(u)lim inf

n!+1F"n(un,⌦)lim inf

k!+1F"_nk(unk,⌦).

Par ailleurs, du fait quevn=un sur⌦t+ , on a Z

⌦

f"_nk(x,rvnk)dx

Z

⌦t+

f"_nk(x,runk)dx

Z

⌦

f"_nk(x,runk)dx

Z

⌦\⌦t

f"_nk(x,ru)dx C⌫k(L ) + C

p

Z

L |u vnk|^pdx.

Par passage `a la liminf quandk!+1, il vient d’apr`es la propri´et´e de croissance (4.1.1), lim inf

k!+1

Z

⌦

f"_nk(x,rvnk)dx lim

k!+1

Z

⌦

f"_nk(x,runk)dx ⇤

Z

⌦\⌦t

(1 +|ru|^p)dx C⌫(L ).

En faisant tendre !0, il vient lim inf

k!+1

Z

⌦

f"_nk(x,rvnk)dx lim

k!+1

Z

⌦

f"_nk(x,runk)dx ⇤

Z

⌦\⌦t

(1 +|ru|^p)dx C⌫(@⌦t).

Comme les ensembles{@⌦t}t>0sont deux `a deux disjoints, l’ensemble{t >0 : (L^N+⌫)(@⌦t)>0} est au plus d´enombrable et on peut donc trouver une suiteti&0 tel que (L^N+⌫)(@⌦ti) = 0 pour touti2N. Il vient alors en rempla¸cantt parti dans l’expression pr´ec´edente et en faisant tendre i!+1que

lim inf

k!+1

Z

⌦

f"_nk(x,rvnk)dx lim

k!+1

Z

⌦

f"_nk(x,runk)dx.

On en d´eduit que

F⁰(u) lim

k!+1F"_nk(vnk,⌦) = lim inf

n!+1F"n(vn,⌦),

puis par passage `a l’inf parmi toutes les suite vn !u dans L<sup>p</sup>(⌦;R<sup>d</sup>) queF<sup>0</sup>(u) F(u,⌦). La formule avec la limsup se d´emontre de mani`ere identique.

Nous sommes `a pr´esent en mesure de montrer la propri´et´e de convergence des suites minimisantes et de l’infimum. Soient ¯u2W<sup>1,p</sup>(⌦;R<sup>d</sup>) etg:⌦⇥R<sup>d</sup>!Rune fonction de Carath´eodory telle que a0(x)g(x, z)a1(x) +b|z|<sup>p</sup>) p.p. toutx2⌦et pour toutz2R<sup>d</sup>, (3.2.4) o`ua0,a12L¹(⌦) etb >0. On consid`ere la fonctionnelleJn:W^1,p(⌦;R^d)!Rd´efinie par

Jn(u) = Z

⌦

f"n(x,ru)dx+

Z

⌦

g(x, u)dx et le probl`eme de minimisation

In:= inf

v2¯u+W₀^1,p(⌦;R^d)

Jn(v),

o`u ("n)n2N est une sous-suite extraite satisfaisant la conclusion du Th´eor`eme3.2.1ait lieu. Alors on a le r´esultat suivant :

3.2. APPLICATIONS AUX FONCTIONNELLES INT ´EGRALE 43 Th´eor`eme 3.2.7. Soit⌦⇢R<sup>N</sup> un ouvert born´e. Siun2u0+W<sub>0</sub><sup>1,p</sup>(⌦;R<sup>d</sup>)est telle queJ"n(un) In!0, alors on peut extraire une sous-suite(unk)telle queunk*ufaiblement dansW<sup>1,p</sup>(⌦;R<sup>d</sup>) o`uu2u¯+W₀^1,p(⌦;R^d)est une solution de

I := min

v2u+W¯ ₀^1,p(⌦;R^d)

⇢ J(v) :=

Z

⌦

f(x,rv)dx+ Z

⌦

g(x, v)dx

et, de plus,Ink!I.

D´emonstration. SoitG:L^p(⌦;R^d)!Rla fonctionnelle d´efinie par G(v) =

Z

⌦

g(x, v)dx pour toutv2L^p(⌦;R^d).

D’apr`es la condition de croissance (3.2.4), la fonctionnelle G est continue sur L^p(⌦;R^d) et la Remarque3.1.3-3 implique queF"n+G -converge versF+G.

Soit un 2u¯+W₀^1,p(⌦;R^d) telle queJ"n(un) In ! 0. D’apr`es les propri´et´es de croissances (3.2.1) et (3.2.4), on a

Z

⌦

a0dxInJn(¯u) Z

⌦

(a1+b|u¯|^p)dx+⇤ Z

⌦

(1 +|ru¯|^p)dx,

et donc, la suite num´erique (In)_n2N est born´ee. Par cons´equent, la suite (J"n(un))_n2N est born´ee, ce qui implique que (run)n2N est born´ee dans L^p(⌦;R^d⇥N) et, d’apr`es l’in´egalit´e de Poincar´e appliqu´ee `aun u, on en d´eduit que (u¯ n)_n2N est born´ee dansW^1,p(⌦;R^d). On peut donc extraire une sous-suite (unk) telle queunk *u faiblement dansW^1,p(⌦;R^d) avecu2u¯+W₀^1,p(⌦;R^d) et, d’apr`es la borne inf´erieure,

J(u)lim inf

k!+1J"_nk(unk).

Par ailleurs, d’apr`es la Proposition3.2.6, pour toutv2u¯+W₀^1,p(⌦;R^d), il existe une suite (vn)_n2N dans ¯u+W₀^1,p(⌦;R^d) telle quevn!vdansL^p(⌦;R^d) et

J"n(vn)!J(v).

On en d´eduit que J(u)lim inf

k!+1J"_nk(unk)lim inf

k!+1Inklim sup

k!+1

Inklim sup

k!+1

J"_nk(vnk) = lim

n!+1J"n(vn) =J(v),

ce qui montre queuest un minimiseur deJsur ¯u+W₀^1,p(⌦;R^d) et donc queI =J(u). En prenant v=u, les in´egalit´es pr´ec´edentes deviennent des ´egalit´es et il vient queInk!I.