Un th´eor`eme de Wolstenhome ∗

Un th´eor`eme de Wolstenhome ^∗

Gilles Auriol - auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr

4 aoˆ ut 2003

Th´eor`eme 1. Soit p>5 un nombre premier et

p−1

X

k=1

1 k = A

B ´ecrit sous forme irr´eductible. Alors p² divise A.

D´emonstration. Pour tout tout k ∈ [[1, p−1]], on pose p_k = Y

16i6p−1 i6=k,i6=p−k

i = (p−1)!

k(p−k). Une astuce classique permet d’´ecrire

A B =

p−1

X

k=1

1 k = 1

2

p−1

X

k=1

1

k + 1 p−k

= 1 2

p−1

X

k=1

p

k(p−k) = p 2

p−1

X

k=1

1

k(p−k) = p 2(p−1)!

p−1

X

k=1

p_k

Par cons´equent on arrive `a

pB×

p−1

X

k=1

p_k= 2A(p−1)! (1)

Pour k ∈ [[1, p−1]], on a k(p−k)p_k = (p−1)! ≡ −1 [p] par le th´eor`eme de Wilson<sup>1</sup>, d’o`u

−k²p_k ≡ −1 [p], c’est-`a-dire que dans Z/pZ, pe_k = ek⁻² (k ´etant inversible puisque Z/pZ est un corps). Par suite

p−1

X

k=1

pe_k =

p−1

X

k=1

ek⁻² =

p−1

X

k=1

ek⁻¹2

=

p−1

X

k=1

ek² (2) la derni`ere ´egalit´e r´esultant du fait, ´evident, que l’application ek 7→ ek⁻¹ est une permutation de Z/pZ− {0}.

Dans N, on a

p−1

X

k=1

k² = p(p−1)(2p−1)

6 . Or pgcd(p,6) = 1 car p> 5 est premier. Ainsi 6 divise (p−1)(2p−1) etpest un diviseur du membre de droite, donc p divise

p−1

X

k=1

k², et d’apr`es l’´egalit´e (2) il divise aussi

p−1

X

k=1

p_k et il existe k ∈ N tel que

p−1

X

k=1

p_k = kp; par suite l’identit´e (1) s’´ecrit p² ×kB =A×2(p−1)! et le th´eor`eme de Gauss assure alors que p² diviseA puisque p (donc p²) est premier avec 2(p−1)!.

∗Joseph Wolstenhome, math´ematicien anglais (1829-1891).

1Rappel du th´eor`eme deWilson. Soitpun entier naturel,ppremier⇔(p−1)!≡ −1 [p].

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