D´efinition locale du transfert et construction de ses noyaux locaux

(1)

Expos´e I :

D´efinition locale du transfert et construction de ses noyaux locaux

Laurent Lafforgue

Expos´ e ` a l’IH´ ES le 3 juin 2008

1 Anneaux et groupes ad´ eliques

On se placera toujours sur le corps des fonctionsF d’une courbeX projective, lisse et g´eom´etriquement connexe sur un corps finiFq.

On note|X|l’ensemble des places deF identifiées aux points fermés deX, c’est-à-dire aux points de la courbeX à valeurs dans les extensions finies du corps de baseFq.

Pour toute placex∈ |X|, on note :

• deg(x) la dimension surFq du corps de d´efinitionκ(x) dex, avec donc|κ(x)|=q^deg(x)=qx,

• x:F^×→Zla valuation définie comme l’ordre d’annulation en le pointxdeXdes fonctions rationnelles non nulles, et| • |x=qx^−x(•)la norme ultra-métrique associée,

• Fxle compl´et´e deF pour la norme| • |x,

• Ox ={ax ∈ Fx | x(ax) ≥0} l’anneau des entiers de Fx, et mx = {ax ∈ Fx | x(ax) ≥ 1} son id´eal maximal, avec doncOx/mx=κ(x).

On rappelle que l’expression “pour presque toute place x” signifie “pour toutes les placesx∈ |X| sauf un nombre fini d’entre elles”.

On dispose de l’anneau topologique des ad`eles deF A=AF =n

(ax)_x∈|X|∈ Y

x∈|X|

Fx

ax∈Ox pour presque toute placexo ,

et de son sous-anneau ouvert compact des entiers ad´eliques O_A=O_A_F = Y

x∈|X|

O_x.

On connaˆıt le résultat suivant qui est à la base de toute la théorie automorphe :

(2)

Proposition I.1.–

(i)Le groupe additifF est un sous-groupe discret de A. De plus, le quotient F\Aest compact.

(ii)Le groupe multiplicatifF^× est un sous-groupe discret deA^×.

(iii)Le groupe matricielGL2(F)est un sous-groupe discret de GL2(A).

Dans cet ´enonc´e,

A^×=n

(ax)∈ Y

x∈|X|

F_x^×

ax∈O_x^× pour presque toute placexo

est le groupe topologique des éléments inversibles de A. Il contient comme sous-groupe ouvert compact maximal le groupe des adèles entiers inversibles

O_A^×= Y

x∈|X|

O^×_x .

En toute placex, la valuation d´efinit un isomorphisme x(•) =F_x^×/O_x^×→Z.

La définition deA^× autorise à combiner toutes les valuations pour définir un homomorphisme de degré

deg : A^× → Z

(a_x)_x∈|X| 7→ −X

x

deg(x)·x(a_x).

On connaˆıt encore la “formule du produit” :

Proposition I.2.–Le sous-groupe discret F^× deA^× est contenu dans le noyauA^×0 de l’homomorphisme de degr´e

deg :A^× →Z.

De plus, le quotientF^×\A^×0 est compact.

Dans toute la suite, on noteraH = GL2considéré comme un groupe algébrique.

Ainsi,

H(A) = GL₂(A) =n

(g_x)_x∈|X|∈ Y

x∈|X|

GL₂(F_x)

g_x∈GL₂(O_x) pour presque toute placexo est le groupe topologique des matrices carrées inversibles de rang 2 à coefficients dansA. Il contient comme sous-groupe ouvert compact maximal le groupe des matrices à coefficients entiers adéliques inversibles

K₀^H= Y

x∈|X|

GL2(Ox).

En toute placex, GL2(Ox) =K_0,x^H est un sous-groupe ouvert compact maximal de GL2(Fx) =H(Fx).

D’apr`es la proposition I.2, le sous-groupe discret H(F) = GL2(F) deH(A) = GL2(A) est contenu dans le noyau GL2(A)⁰ de l’homomorphisme compos´e

GL2(A)−→^det A^×−→^deg Z.

Le quotient GL2(F)\GL2(A)⁰ n’est pas compact mais il est de volume fini pour les mesures de Haar de GL2(A).

(3)

Considérons enfin une extension E deF de degré 2, que l’on suppose partout non ramifiée. Autrement dit,E est le corps des fonctions rationnelles sur un revêtementX⁰ fini étale de degré 2 de la courbeX.

Pour toute placex∈ |X|, consid´erons l’alg`ebreEx=E⊗F Fx. Deux cas sont possibles :

•Premier cas :L’algèbreEx est le produit de deux corps isomorphes àFx. Cela signifie qu’il existe dans le revêtement X⁰ deux points fermésx1 et x2 au-dessus du pointxde X. Leurs corps de définition κ(x1) et κ(x2) s’identifient à κ(x) et les complétions associées Ex₁ et Ex₂ s’identifient à Fx, avecEx=Ex₁×Ex₂. On dit alors que la placexest scindée dans E. On note OE_x=OE_x₁ ×OE_x₂ =Ox×Ox.

• Second cas : L’algèbre Ex est un corps, extension de degré 2 de Fx. Cela signifie qu’il existe dans le revêtementX⁰ un unique point ferméx⁰ au-dessus du point ferméxdeX. Son corps de définitionκ(x⁰) est une extension de degré 2 de κ(x) et la complétion associéeEx⁰ s’identifie à Ex. On dit alors que la place x est inerte dansE. On noteOEx=OE_x0.

On remarque que le produit tensorielE⊗FAF s’identifie `a l’anneau des ad`elesAEdu corps de fonctions E.

Dans toute la suite, on notera

G= Res_E/FGL₁

le groupe algébrique surF qui se déduit de GL1par restriction des scalaires à la Weil deEàF. Cela signifie que pour touteF-algèbreA, on a

G(A) = GL1(E⊗F A). En particulier, on a en toute placex

G(Fx) = E_x^×

=

E_x^×₁×E_x^×₂=F_x^××F_x^× sixse scinde dansE en deux placesx1 et x2, E_x^×0 sixest inerte dansE et quex⁰ est l’unique place qui la rel`eve.

De plus,E_x^× poss`ede un sous-groupe ouvert compact maximal qui est K_0,x^G = O_E^×

x

= (O_E^×

x1 ×O^×_E

x2

=O_x^××O_x^× sixest scind´ee, O_E^×

x0 sixest inerte.

On dispose aussi du groupe topologique ad´elique G(A) = A^×E

= n

(tx)_x∈|X|∈ Y

x∈|X|

E_x^×

tx∈O^×_E

x pour presque toute placexo et de son sous-groupe ouvert compact maximal

K₀^G = Y

x∈|X|

K_0,x^G = Y

x∈|X|

O_E^×

x.

En toute placex∈ |X|, on dispose de l’homomorphisme de norme local Nm : E_x^× → F_x^×

t_x 7→ Nm(t_x) = d´eterminant de l’endomorphisme de multiplication part_x dansExvu comme espace vectoriel de dimension 2 surFx.

(4)

Il envoieO^×_E

x dansO_x^×.

Le produit des homomorphismes de norme locaux en toutes les placesx∈ |X|d´efinit un homomorphisme de norme global

Nm :G(A) =A^×E →A^×F. Il envoie le sous-groupe ouvert compact maximalK₀^G dansO^×

A et le sous-groupe discret E^× dansF^×.

2 Alg` ebres de Hecke sph´ eriques et formes automorphes non ra- mifi´ ees

En toute place x, on note d^×tx la mesure de Haar sur E_x^× qui attribue le volume 1 au sous-groupe ouvert compact maximalO^×_E

x. On note H_x,∅^G l’alg`ebre de convolution des fonctions `a support compact sur E_x^× = G(Fx) qui sont invariantes par K_0,x^G = O^×_E

x. Cette algèbre a un élément unité qui est la fonction caractéristique 1I^G_x,∅ deK_0,x^G .

Quand la placexdeF se scinde dansE en deux placesx1 etx2, on a un isomorphisme E_x^×/O^×_E

x=E_x^×₁/O_E^×

x1 ×E^×_x₂/O^×_E

x2 =F_x^×/O_x^××F_x^×/O^×_x

x(•)×x(•)

−−−−−−→∼ Z×Z

si bien queH^G_x,∅ s’identifie à l’algèbre de groupe de Z×Z. La mesure d^×tx est le produit des mesures de Haard^×t1 etd^×t2 surE_x^×₁=F_x^× etE_x^×₂ =F_x^× qui attribuent le volume 1 àO_E^×

x1 =O^×_x et O_E^×

x2 =O_x^×. Quand la placexdeF est inerte dansE, on a un isomorphisme

E_x^×/O_E^×

x=E_x^×0/O^×_E

x0

x(•)◦Nm

−−−−−→∼ 2Z si bien queH_x,∅^G s’identifie `a l’alg`ebre de groupe de 2Z.

On d´eduit de ces consid´erations : Lemme I.3.–

(i)Quand la place xdeF se scinde dansE en deux placesx₁ etx₂, l’application ϕ_x7→

Z

t=(t1,t2 )

∈E× x=F×

x×F× x

d^×t₁·d^×t₂·ϕ_x(t₁, t₂)·X₁^x(t¹⁾·X₂^x(t²⁾

d´efinit un isomorphisme

S^G_x :H^G_x,∅−→^∼ C[X₁^±1]⊗C[X₂^±1] =C[X₁^±1, X₂^±1].

(ii)Quand la placexdeF reste inerte dansE, l’application ϕ_x7→

Z

t∈E_x^×

d^×t·ϕ_x(t)·X^x(Nm(t)) d´efinit un isomorphisme

S_x^G:H^G_x,∅−→^∼ C[X^±2] =C[X^±1,−X^±1]^S².

Le groupe topologique localement compactG(A) =A^×E peut ˆetre muni de la mesure de Haard^×tqui est le produit sur toutes les placesx∈ |X|des mesuresd^×t_xsur lesG(F_x) =E_x^×. Elle attribue le volume 1 au sous-groupe ouvert compact maximalK₀^G= Q

x∈|X|

K_0,x^G .

(5)

On noteH^G_∅ l’alg`ebre de convolution des fonctions `a support compact surG(A) =A^×Equi sont invariantes parK₀^G=O^×

AE. Cette algèbre a un élément unité qui est la fonction caractéristique 1I^G_∅ deK₀^G. On a une décomposition naturelle

H^G_∅ = O

x∈|X|

H^G_x,∅

avec

1I^G_∅ = O

x∈|X|

1I^G_x,∅.

Tout caract`ereχ

A^×E/O^×_A

E →C^×

peut aussi bien être vu comme une représentation irréductible, de dimension 1, de l’algèbre H^G_∅. Il se décompose canoniquement en un produit

χ= O

x∈|X|

χ_x o`u chaqueχ_xest un caract`ere

E_x^×/O^×_E

x →C^×

ou, ce qui revient au même, une représentation irréductible, de dimension 1, de l’algèbre H_x,∅^G .

Quand la placexest scindée dansEen deux placesx1etx2, se donner une telle représentation irréductible χx de l’algèbre H^G_x,∅ −→^∼ C[X₁^±1, X₂^±1] équivaut à se donner les images zx₁(χx), zx₂(χx) ∈ C^× des deux variablesX1, X2.

Quand au contraire la placexest inerte dansE, se donner une représentation irréductibleχxde l’algèbre H^G_x,∅−→^∼ C[X^±1,−X^±1] revient à se donner au signe près l’image±zx(χx) de la variableX.

Un caract`ere global χ : A^×E/O^×

AE → C^× est unitaire si et seulement si tous ses facteurs locaux χ_x : E_x^×/O_E^×

x →C^× le sont.

Et un caract`ere localχ_x :E_x^×/O^×_E

x →C^× est unitaire si et seulement si ses “valeurs propres”z_x₁(χ_x), z_x₂(χ_x) [resp.±z_x(χ_x)] sont de module 1.

On pose la d´efinition suivante :

Définition I.4. – On appelle représentations automorphes de H^G_∅ ses représentations irréductibles (de di- mension1) qui apparaissent dans la décomposition spectrale de l’espace de Hilbert

L²(G(F)\G(A)/K₀^G) =L²(E^×\A^×E/O_A^×

E) muni de l’action deH_∅^G par convolution.

Autrement dit, ce sont les caract`eres unitaires χ:E^×\A^×E/O^×

AE→C^×.

Disons que deux caractères automorphes χ, χ⁰ : E^×\A^×E/O_A^× → C^× sont dans la même classe si leur quotientχ⁰·χ⁻¹se factorise à travers l’homomorphisme de degré

E^×\A^×_E/O^×

AE

−→Nm F^×\A^×_F/O^×

AF

−→deg Z.

Il r´esulte de la proposition I.2 qu’il n’existe qu’un nombre fini de classes de caract`eres automorphes E^×\A^×_E/O^×

AE →C^×.

(6)

Passons maintenant au groupeH.

En toute place x, on note dg_x la mesure de Haar sur H(F_x) = GL₂(F_x) qui attribue le volume 1 au sous-groupe ouvert compact maximalK_0,x^H = GL2(Ox). On noteH^H_x,∅ l’alg`ebre de convolution des fonctions

`

a support compact surH(Fx) qui sont invariantes à gauche et à droite par K_0,x^H . On l’appelle l’algèbre de Hecke sphérique de H(Fx). Elle admet pour élément unité la fonction caractéristique 1I^H_x,∅ deK_0,x^H .

Rappelons la d´ecomposition d’Iwasawa :

Lemme I.5.–Tout élément g_x deH(F_x) = GL₂(F_x)peut s’écrire sous la forme gx=

µ1 0 0 µ2

· 1 u

0 1

·g_∅ avecµ1, µ2∈F_x^×,u∈Fx,g_∅ ∈GL2(Ox).

De plus, si on note

• d^×µ1 oud^×µ2 la mesure de Haar surF_x^× qui attribue le volume 1`aO^×_x,

• du la mesure de Haar additive deF_x qui attribue le volume1 `aO_x,

• dg_∅ la restriction de dg_x `aGL₂(O_x),

on dispose de la formule suivante d’int´egration des fonctionsh_xlocalement constantes `a support compact sur H(F_x) = GL₂(F_x)

Z

H(Fx)

dgx·hx(gx) = Z

F_x^××F_x^×

d^×µ1·d^×µ2· Z

Fx

du· Z

GL2(Ox)

dg_∅·hx

µ1 0 0 µ2

· 1 u

0 1

·g_∅

.

Rappelons maintenant l’énoncé du théorème de Satake :

Th´eor`eme I.6.– L’application hx7→

Z

F_x^××Fx^×

d^×µ1·d^×µ2· Z

F_x

du·hx

µ1 0 0 µ₂

· 1 u

0 1

·X₁^0x(µ¹⁾·X₂^0x(µ²⁾·q

x(µ2 )−x(µ1 )

x 2

d´efinit un isomorphisme

S_x^H:H^H_x,∅−→^∼ C[X₁^0±1, X₂^0±1]^S².

En particulier, l’alg`ebre de Hecke sph´eriqueH^H_x,∅ est commutative.

Le groupe topologique localement compact H(A) = GL₂(A) peut ˆetre muni de la mesure de Haar dg qui est le produit sur toutes les placesx∈ |X| des mesuresdg_x sur les H(F_x) = GL₂(F_x). Elle attribue le volume 1 au sous-groupe ouvert compact maximal

K₀^H = Y

x∈|X|

K_0,x^H = GL₂(O_A).

On note H_∅^H, et on appelle algèbre de Hecke sphérique globale, l’algèbre de convolution des fonctions à support compact surH(A) = GL₂(A) qui sont invariantes à gauche et à droite par K₀^H = GL₂(O_A). Cette algèbre admet pour élément unité la fonction caractéristique 1I^H_∅ deK₀^H.

On a une d´ecomposition naturelle

H^H_∅ = O

x∈|X|

H^H_x,∅

(7)

avec

1I^H_∅ = O

x∈|X|

1I^H_x,∅,

si bien que, comme produit tensoriel d’algèbres commutatives,H^H_∅ est elle-même une algèbre commutative.

Toute représentation irréductibleπ de cette algèbre commutative H^H_∅ est nécessairement de dimension 1. Elle se décompose canoniquement en un produit tensoriel

π= O

x∈|X|

π_x

où chaqueπxest une représentation irréductible (de dimension 1) de l’algèbre H^H_x,∅.

Se donner une telle représentation irréductible π_x de l’algèbre H^H_x,∅ −→^∼ C[X₁^0±1, X₂^0±1]^S² équivaut à se donner, à l’ordre près, les imagesz1(πx),z2(πx)∈C^× des deux variablesX₁⁰,X₂⁰.

On pose la d´efinition suivante :

Définition I.7. – On appelle représentations automorphes de H^H_∅ ses représentations irréductibles (de dimension1) qui apparaissent dans la décomposition spectrale de l’espace de Hilbert

L²(H(F)\H(A)/K₀^H) =L²(GL2(F)\GL2(A)/GL2(O_A))

muni de l’action deH_∅^H par convolution `a droite.

Considérons une représentation irréductible π = N

x∈|X|

π_x de l’algèbre H^H_∅ . Elle est caractérisée par la donnée, pour toute placex∈ |X|, des deux “valeurs propres de Hecke”z1(πx),z2(πx) bien définies à l’ordre près.

On appelle “forme automorphe propre” deπtoute fonction h:H(F)\H(A)/K₀^H →C

telle que, pour toute placex∈ |X|et tout élémenth_xde l’algèbre de Hecke sphérique locale H^H_x,∅, on ait la formule suivante pour le produit de convolution

h∗h_x=S_x^H(h_x)(z₁(π_x), z₂(π_x))·h . Citons le “théorème de mutiplicité 1” de Piatetski-Shapiro :

Théorème I.8. – Pour toute représentation automorphe π de H^H_∅, l’espace de ses “formes automorphes

propres” est de dimension1.

3 D´ efinition locale du transfert de Langlands

Rappelons que nous travaillons sur les deux groupes alg´ebriques surF G= Res_E/FGL1 et H = GL2.

En toute placex∈ |X|, nous allons d´efinir un homomorphisme d’alg`ebres commutatives ρ^∗_x:H_x,∅^H → H_x,∅^G

qui va constituer la r`egle locale de Langlands pour le transfert automorphe par induction deG`a H.

(8)

Posons :

D´efinition I.9.–En toute place x∈ |X|, on appelle homomorphisme de transfert par induction deG`a H et on note

ρ^∗_x:H_x,∅^H → H_x,∅^G l’homomorphisme d´efini de la mani`ere suivante :

(i)Si la place xse scinde dansE en deux placesx₁ etx₂, avec les isomorphismes S_x^H:H^H_x,∅−→^∼ C[X₁^0±1, X₂^0±1]^S²,

S_x^G:H_x,∅^G −→^∼ C[X₁^±1, X₂^±1], ρ^∗_x est donné par la substitution des variables (à l’ordre près)

X₁⁰ 7→X₁, X₂⁰ 7→X₂.

(ii)Si la placexest inerte dans E, avec les isomorphismes

S_x^H:H^H_x,∅−→^∼ C[X₁^0±1, X₂^0±1]^S², S_x^G:H^G_x,∅−→^∼ C[X^±1,−X^±1]^S², ρ^∗_x est donné par la substitution des variables (à l’ordre près)

X₁⁰ 7→X , X₂⁰ 7→ −X .

La composition avec ρ^∗_x : H_x,∅^H → H^G_x,∅ permet d’associer à tout caractère χx de H^G_x,∅ vu comme un homomorphisme d’algèbres

H^G_x,∅→C un caract`ere deH^H_x,∅ not´e (ρx)_∗χx.

Autrement dit, pour tout caract`ere non ramifi´e χ_x:E_x^×/O^×_E

x→C^×, (ρ_x)_∗χ_x est l’unique repr´esentation irr´eductibleπ_xdeH^H_x,∅ telle que :

• Si la placexse scinde dansEen deux placesx₁etx₂, on a égalité à l’ordre près des paires de valeurs propres de Hecke

(z1(πx), z2(πx)) = (zx₁(χx), zx₂(χx)).

• Si au contraire le placexest inerte dansE, on a égalité à l’ordre près des paires (z₁(π_x), z₂(π_x)) = (z_x(χ_x),−zx(χ_x)).

(9)

Le but de cette série d’exposés est de présenter une nouvelle démonstration purement adélique du théorème suivant :

Théorème I.10.–Pour tout caractère automorphe non ramifié χ= Y

x∈|X|

χx:E^×\A^×E/O^×_A

E→C^×, il existe une (unique) repr´esentation automorpheπ= N

x∈|X|

πxde l’alg`ebre de Hecke sph´eriqueH^H_∅ du groupe H(A) = GL2(A)telle que

∀x∈ |X|, πx= (ρx)∗χx.

Remarque.Ce théorème implique que, pour tout caractère automorpheχ= Q

x∈|X|

χxcomme dans l’énoncé, il existe une forme automorphe non nulle (et unique à multiplication près par un scalaire)

h: GL2(F)\GL2(A)/GL2(O_A)→C telle que, en toute placex∈ |X|, on ait

•

h∗h_x=S^H_x(h_x)(z_x₁(χ_x), z_x₂(χ_x))·h , ∀h_x∈ H^H_x,∅, sixse scinde dansE en deux placesx1 et x2,

•

h∗hx=S^H_x(hx)(zx(χx),−zx(χx))·h , ∀hx∈ H^H_x,∅, sixreste inerte dansE.

Mais réciproquement, si on prouve l’existence d’une forme automorphe h vérifiant une telle propriété relativement à un caractère automorphe χ de A^×E/O^×

AE, la représentation irréductible π deH^H_∅ engendrée par cette formehsera nécessairement automorphe, c’est-à-dire apparaˆıtra dans la décomposition spectrale hilbertienne deL²(H(F)\H(A)/K₀^H). Cela résulte de ce que toutes les valeurs propres z_x₁(χ_x), z_x₂(χ_x) ou

z_x(χ_x) ont 1 pour module.

4 Fonctions sph´ eriques et fonctions de Whittaker

En toute place x∈ |X|, construisons sur G(F_x)/K_0,x^G et H(F_x)/K_0,x^H des formes propres relatives aux caractères unitaires des algèbres de Hecke sphériques localesH^G_x,∅ etH^H_x,∅.

Lemme I.11.–

(i)Si la placexse scinde dansEen deux placesx1etx2, etλ_•= (λ1, λ2)est un couple de nombres complexes de module1, la fonction

Φ^G_x,λ_• : E_x^×=E^×_x

1×E_x^×

2 =F_x^××F_x^×→C t= (t1, t2)7→λ^x(t₁ ¹⁾·λ^x(t₂ ²⁾

est caractérisée par les trois propriétés suivantes :

• elle est invariante par K_x,0^G =O^×_E

x1 ×O_E^×

x2 =O^×_x ×O^×_x ;

• Φ^G_x,λ_•∗ϕx=S_x^G(ϕx)(λ1, λ2)·Φ^G_x,λ_•,∀ϕx∈ H^G_x,∅;

(10)

• Φ^G_x,λ_•(1) = 1.

(ii)Si au contraire la placexreste inerte dans E, et que λest un nombre complexe de module 1, la fonction Φ^G_x,λ : E_x^× → C

t 7→ λ^x(Nm(t)) est caractérisée par les trois propriétés suivantes :

• elle est invariante par K_x,0^G =O^×_E

x;

• Φ^G_x,λ∗ϕ_x=S_x^G(ϕ_x)(λ²)·Φ^G_x,λ,∀ϕ_x∈ H^G_x,∅;

• Φ^G_x,λ(1) = 1.

Apr`es le groupe multiplicatif G(F_x), passons au groupe matricielH(F_x) = GL₂(F_x).

Nous avons besoin de choisir un caract`ere additif continu non trivial ψ:Fx→C^×.

On rappelle que le conducteurN_ψ d’un tel caractèreψ est l’unique entier tel queψsoit trivial sur le sous- groupe ouvert compact{u∈ F_x | x(u)≥ N_ψ} mais non trivial sur {u∈ F_x | x(u)≥ N_ψ−1}. Quand le conducteurN_ψ est nul, on dit que le caractèreψ est régulier.

Pour n’importe quel élémentγ0∈F_x^× de valuationNψ, on peut écrire ψ(u) =ψ0(γ₀⁻¹·u), ∀u∈Fx, oùψ₀ est un caractère régulier deF_x.

Utilisant le décomposition d’Iwasawa des élémentsg∈H(Fx) = GL2(Fx), g=

µ1 0 0 µ2

· 1 u

0 1

·g_∅,

telle que rappelée dans le lemme I.5, on peut énoncer la proposition suivante qui explicite et caractérise ce que l’on appelle les fonctions de Whittaker :

Proposition I.12.–Soitλ•= (λ1, λ2)une paire de nombres complexes de module 1.

Consid´erons la fonctionW_x,λ^H,ψ

• d´efinie par la formule W_x,λ^H,ψ

•(g) =ψ µ1

µ₂ ·u −1

·q

x(µ2 )−x(µ1 )

x 2 · X

n1 +n2 =x(µ1µ2 ) x(µ1 )≥n1,n2≥x(µ2 )

λⁿ₁¹·λⁿ₂²

en tout ´el´ement g=

µ1 0 0 µ2

· 1 u

0 1

·g_∅, dans le cas où le caractère ψest régulier ;

puis, dans le cas d’un caractère non trivial général écrit sous la forme ψ(u) =ψ₀(γ₀⁻¹·u) avec γ₀ ∈ F_x^×, x(γ₀) =N_ψ etψ₀ régulier, par la formule

W_x,λ^H,ψ

•(g) = W_x,λ^H,ψ⁰

•

γ₀⁻¹ 0

0 1

·g

= W_x,λ^H,ψ⁰

•

1 0 0 γ₀

·g

·(λ₁λ₂)^−N^ψ. Alors cette fonction

W_x,λ^H,ψ

•:H(Fx) = GL2(Fx)→C,

dite fonction de Whittaker, vérifie les propriétés suivantes, qui la caractérisent :

(11)

• elle est invariante `a droite par K_x,0^H = GL2(Ox);

• W_x,λ^H,ψ

•

1 u 0 1

·g

=ψ(u)⁻¹·W_x,λ^H,ψ

•(g),∀u∈F_x;

• W_x,λ^H,ψ

•∗hx=S_x^H(hx)(λ1, λ2)·W_x,λ^H,ψ

•,∀hx∈ H^H_x,∅;

• on a W_x,λ^H,ψ

•(1) = 1 si ψ est r´egulier et W_x,λ^H,ψ

•

γ0 0 0 1

= 1 dans le cas d’un caractère non trivial général écrit sous la formeψ(u) =ψ0(γ⁻¹₀ ·u)avec ψ0 régulier.

Insistons sur le fait que la fonction de WhittakerW_x,λ^H,ψ

• ne d´epend pas de l’ordre des deux composantes deλ_•= (λ1, λ2).

5 Noyaux locaux de la fonctorialit´ e

La d´efinition des homomorphismes de transfert

ρ^∗_x:H_x,∅^H → H_x,∅^G

par substitution des valeurs propres de Hecke conduit à poser la définition suivante : Définition I.13.– On appelle noyaux locaux de la fonctorialité les fonctions

K_x,P^G,H,ψ

x :G(Fx)×H(Fx)→C d´efinies de la mani`ere suivante :

• Dans le cas o`u la placexse scinde dansE en deux placesx1 etx2, K_x,P^G,H,ψ

x ((t₁, t₂), g) = Z

|λ₁|=1=|λ₂|

dλ₁·dλ₂·P_x(λ₁, λ₂)·Φ^G_x,λ

•(t₁, t₂)·W_x,λ^H,ψ

•(g) o`u

P_xest un polynôme, élément deC[X₁^±1, X₂^±1], (t1, t2)décritG(Fx) =E_x^×=E_x^×₁×E_x^×₂ =F_x^××F_x^×, g décritH(F_x) = GL₂(F_x),

λ•= (λ1, λ2)d´ecrit le produit de deux copies du cercle unit´e deC^×,

dλ₁ etdλ₂ d´esignent la mesure invariante de volume1 sur le cercle unit´e deC^×.

• Dans le cas o`u la placexreste inerte dansE, K_x,P^G,H,ψ

x (t, g) = Z

|λ|=1

dλ·Px(λ²)·Φ^G_x,λ(t)·W_x,(λ,−λ)^H,ψ (g) o`u

P_xest un polynôme pair, élément deC[X^±2], t décritG(Fx) =E_x^×,

g décritH(Fx) = GL2(Fx), λdécrit le cercle unité deC^×,

dλ d´esigne la mesure invariante de volume 1sur ce cercle unit´e.

(12)

La raison pour laquelle on baptise ces fonctions K_x,P^G,H,ψ

x :G(Fx)×H(Fx)→C

du nom de “noyaux locaux de la fonctorialit´e” est fournie par le lemme suivant : Lemme I.14.–

(i)Si la place xest scind´ee dans E,Px est un polynˆome de deux variables etλ_•= (λ1, λ2)est un couple de nombres complexes de module1, on a

Z

F_x^××Fx^×

d^×t₁·d^×t₂·K_x,P^G,H,ψ

x ((t₁, t₂), g)·Φ^G_x,λ_•(t₁, t₂) =P_x(λ₁, λ₂)·W_x,λ^H,ψ

•(g).

(ii)Si la place xest inerte dansE,P_x est un polynˆome pair d’une variable et λest un nombre complexe de volume1, on a

Z

E^×x

d^×t·K_x,P^G,H,ψ

x (t, g)·Φ^G_x,λ(t) =Px(λ²)·W_x,(λ,−λ)^H,ψ (g).

Ce lemme signifie en effet que les noyaux d’int´egration

K_x,P^G,H,ψ

x :G(Fx)×H(Fx)→C transforment tout vecteur propre

G(F_x)/K_0,x^G →C d’un caract`ere non ramifi´eχ_xdeG(F_x) en un vecteur propre

H(Fx)/K_0,x^H →C de la repr´esentation irr´eductibleπx= (ρx)_∗(χx) deH_x,∅^H .

Les noyaux

K_x,P^G,H,ψ

x :G(Fx)×H(Fx)→C sont invariants `a droite par K_0,x^G ×K_0,x^H .

Pour toute fonction sph´eriqueh_x∈ H^H_x,∅, on a la formule K_x,P^G,H,ψ

x ∗hx=K_x,P^G,H,ψ

x ∗⁻¹(ρ^∗_x)(hx)

où le premier produit de convolution ∗ est relatif à la variable g_x ∈H(F_x), et le second∗⁻¹ à la variable t⁻¹_x ∈G(Fx) :

(K_x,P^G,H,ψ

x ∗hx)(t, g) = Z

H(F_x)

dgx·K_x,P^G,H,ψ

x (t, g·g_x⁻¹)·hx(gx) (K_x,P^G,H,ψ

x ∗⁻¹ϕx)(t, g) = Z

G(F_x)

d^×tx·K_x,P^G,H,ψ

x (t·t⁻¹_x , g)·ϕx(t⁻¹_x ) Enfin, on a pour toute fonction sph´eriqueϕ_x∈ H^G_x,∅

K_x,P^G,H,ψ

x ∗⁻¹ϕ_x=K_x,P^G,H,ψ

x·S_x^G(ϕx).

(13)

6 Echange par transformation de Fourier ´

En toute placex∈ |X|, on dispose de l’homomorphisme local de trace Tr : Ex → Fx,

tx 7→ Tr(tx) = trace de l’endomorphisme de multiplication partx dansEx

vu comme espace vectoriel de dimension 2 surFx. Il envoieOE_x dansOF_x.

Dans le cas o`u la place xse scinde dans E en deux places x₁ et x₂, l’homomorphisme de trace s’´ecrit simplement

Tr : Ex=Ex₁×Ex₂ =Fx×Fx → Fx, t= (t1, t2) 7→ t1+t2. Ayant choisi un caract`ere additif continu non trivial

ψ:Fx→C^×, on dispose du caract`ere additif non trivial induit par composition

ψ◦Tr :Ex→C^×.

On rappelle qu’on a not´eN_ψle conducteur du caract`ereψ. MunissonsE_xde la mesure de Haar additive dtqui attribue au sous-groupe ouvert compactO_E_x le volumeq^Nx^ψ.

Ces choix étant faits, on peut rappeler la définition de la transformation de Fourier relative à ψ◦Tr sur Ex:

Proposition I.15.–La transformation f 7→

fˆ:t⁰7→fˆ(t⁰) = Z

Ex

dt·f(t)·ψ◦Tr (tt⁰)

d´efinit un automorphisme de l’espace des fonctions localement constantes `a support compact surE_x. On l’appelle laψ-transformation de Fourier sur Ex.

Son automorphisme r´eciproque n’est autre que laψ-transformation de Fourier sur¯ E_x : f 7→

t⁰ 7→

Z

Ex

dt·f(t)·ψ¯◦Tr (tt⁰)

Le but du prochain exposé est de démontrer le théorème suivant :

Théorème I.16.–En toute place x∈ |X|, pour tout polynômePx (en deux variables ou une seule suivant quexest scindée ou inerte dansE), pour tout caractère multiplicatif unitaire (éventuellement ramifié)

ω:F_x^×→C^×,

et pour tout ´el´ementg∈H(Fx) = GL2(Fx), les deux fonctions suivantes surE_x^× t7→ω(Nm(t))⁻¹· |Nm(t)|⁻x¹² ·

Z

F_x^×

dµ·ω(µ)·K_x,P^G,H,ψ

x

t,

µ 0 0 1

·g

t7→ω(Nm(t))· |Nm(t)|⁻x¹² · Z

Fx^×

dµ·ω(µ)·K_x,P^G,H,^ψ^¯

x

t⁻¹,

0 1 1 0

· µ 0

0 1

·g

se prolongent par continuit´e en des fonctions localement constantes `a support compact surEx.

De plus, la seconde de ces fonctions est la ψ-transformée de Fourier de la première, à un signe près qui vaut

(14)

• 1 si la placexest scind´ee dansE,

• (−1)^N^ψ si la placexest inerte dans E.