Contrˆ ole de Probabilit´ es 2

Universit´e Abdelmalek Essaˆadi Ann´ee universitaire : 2019/2020

Facult´e des Sciences de T´etouan S.M.A. Semestre 6

Contrˆ ole de Probabilit´ es 2

Faites deux exercices, aux choix, parmi les trois exercices suivants : Exercice 1 : (10 points)

Soit (An)_n>1 une suite d’´ev`enements associ´es `a un espace probabilis´e (Ω,A, P). On a : lim inf

n A_n = [

n>1

(\

k>n

A_k)∈ A lim sup

n

A_n= \

n>1

([

k>n

A_k)∈ A 1. Montrer que :

(a) P(lim inf

n A_n)6lim inf

n P(A_n)

[On rappelle que la suite d’´ev´enements (T

k>nA_k)_n est une suite croissante]

(b) lim sup

n

P(A_n)6P(lim sup

n

A_n)

[On rappelle que la suite d’´ev´enements (S

k>nA_k)_n est une suite d´ecroissante]

2. Soit B ⊂Ω, montrer que : (a) B−lim inf

n An = lim sup

n

(B−An) (b) B−lim sup

n

A_n= lim inf

n (B−A_n) Exercice 2 : (10 points)

Soient X₁, X₂,· · · , X_n des variables al´eatoires ind´ependantes, telles que chaqueX_i a une fonc- tion de r´epartition F_i, pour 16i6n.

Soient les variables al´eatoitres m_n= min

16i6n(X_i) et M_n = max

16i6n(X_i).

1. Montrer que la fonction de r´epartition de M_n enx est Y

16i6n

F_i(x).

2. Montrer que la fonction de r´epartition de m_n est 1− Y

16i6n

(1−F_i(x)).

3. Montrer que P(x₁ < m_n 6M_n6x₂) = Y

16i6n

(F_i(x₂)−F_i(x₁)) Indication : {M_n 6x}= \

16i6n

{X_i 6x}

Exercice 3 : (10 points)

1. Soit X une variable al´eatoire qui suit la loi normale centr´ee r´eduite N(0,1). Calculer sa fonction caract´eristiqueϕ_X.

2. Soit Y une variable al´eatoire qui suit la loi normale de moyenne m et d’´ecart-type σ >

0, N(m, σ). Calculer sa fonction caract´eristique ϕ_Y et retrouver, `a partir de ϕ_Y, son esp´erance math´ematique E(Y) et sa varianceV ar(Y).

3. Soient X1 et X2 deux variables al´eatoires ind´ependantes qui suivent, respectivement les lois normalesN(m₁, σ₁) et N(m₂, σ₂). Montrer que la variable al´eatoire somme X₁+X₂ suit la loi normaleN(m₁+m₂,p

σ²₁ +σ₂²).

Bonne Chance ! 1