Corrig´ es du Contrˆ ole de Probabilit´ es 2

Universit´e Abdelmalek Essaˆadi Ann´ee universitaire : 2019/2020

Facult´e des Sciences de T´etouan S.M.A.

D´epartement de Math´ematiques Semestre 6

Corrig´ es du Contrˆ ole de Probabilit´ es 2

Dur´ee: 1h

Exercice 1 : 1. (a)

lim inf

n A_n= [

n>1

(\

k>n

A_k) alors la suite d’´ev´enements (T

k>nA_k)_nest croissante et lim inf_nA_n= lim_n(T

k>nA_k).

On a doncP(lim infnAn) =P(limn(T

k>nAk)) = limnP(T

k>nAk) = lim infnP(T

k>nAk).

Or ∀n>1, on a : (T

k>nA_k)⊂A_n d’o`u P(T

k>nA_k)6P(A_n). Prenons la limite inf´erieure des deux cˆot´es, on a : lim inf_nP(T

k>nA_k)6lim inf_nP(A_n)

Il en r´esulte :P(lim inf_nA_n)6lim inf_nP(A_n) (b)

lim sup

n

A_n = \

n>1

([

k>n

A_k) alors la suite d’´ev´enements (S

k>nA_k)_nest d´ecroissante et lim sup_nA_n= lim_n(S

k>nA_k).

On a doncP(lim sup_nA_n) =P(lim_n(S

k>nA_k)) = lim_nP(S

k>nA_k) = lim sup_nP(S

k>nA_k).

Or ∀n>1, on a : A_n⊂(S

k>nA_k) d’o`u P(A_n)6P(S

k>nA_k). Prenons la limite sup´erieure des deux cˆot´es, on a : lim sup_nP(An)6lim sup_nP(S

k>nAk)

Il en r´esulte : lim sup_nP(A_n)6P(lim sup_nA_n) 2. (a) B−lim inf

n A_n =B−[

n>1

(\

k>n

A_k)

=BT [S

n>1(T

k>nA_k)]^c

=BT [T

n>1(S

k>nA^c_k)]

=T

n>1[BT (S

k>nA^c_k)]

=T

n>1[S

k>n(BT (A^c_k)]

=T

n>1[S

k>n(B−A_k)]

= lim sup_n(B−A_n) (b) B−lim sup

n

A_n=B− \

n>1

([

k>n

A_k)

=BT [T

n>1(S

k>nA_k)]^c

=BT [S

n>1(T

k>nA^c_k)]

=S

n>1[BT (T

k>nA^c_k)]

=S

n>1[T

k>n(BT (A^c_k)]

=S

n>1[T

k>n(B−A_k)]

= lim infn(B−An)

1

Exercice 2 :

1. Pour tout r´eels x, x₁,· · · , x_n, on a l’´equivalence

16i6nmaxx_i 6x⇐⇒ ∀i, x_i 6x.

On en d´eduit l’´egalit´e des ´ev`enements

{M_n 6x}= \

16i6n

{X_i 6x},

et, les variablesX_i ´etant ind´ependantes, on obtient P{M_n 6x}= Y

16i6n

P {X_i 6x}= Y

16i6n

F_i(x)

2. Pour le min des X_i, l’´equivalence

16i6nmin xi > x⇐⇒ ∀i, xi > x donne l’´egalit´e des ´ev`enements

{m_n> x}= \

16i6n

{X_i > x},

puis

P {m_n6x}= 1− Y

16i6n

P {X_i > x}= 1− Y

16i6n

(1−F_i(x)).

3. De mˆeme pour l’´ev`enement {x₁ < m_n6M_n 6x₂}, on a : {x₁ < m_n 6M_n6x₂}={x₁ < m_n} ∩ {M_n 6x₂}= \

16i6n

{x₁ < X_i 6x₂}.

D’o`u, par l’ind´ependance des Xi,

P(x₁ < m_n 6M_n6x₂) = Y

16i6n

(F_i(x₂)−F_i(x₁)).

2

Exercice 3 : 1. On a :

ϕ_X(t) = 1

√2π Z +∞

−∞

e^itx−x

2 2 dx Il y a plusieurs m´ethodes pour calculer cette int´egrale : Premi`ere m´ethode est la m´ethode vue dans le cours : Comme

Z +∞

−∞

e^−x

2

2 sint x dx = 0, alors :

ϕ_X(t) = 1

√2π Z +∞

−∞

e^−x

2

2 cost x dx et

ϕ⁰_X(t) = − 1

√2π Z +∞

−∞

xe^−x

2

2 sint x dx Une int´egration par partie donne

ϕ⁰_X(t) = 1

√2π Z +∞

−∞

sint x d e^−x

2 2

donc

ϕ⁰_X(t) = −t 1

√2π Z +∞

−∞

e^−x

2

2 cost x dx =−tϕ_X(t) On en tire ^ϕ_ϕ^0X(t)

X(t) =−t ou [lnϕX(t)]⁰ =−t Ce qui implique

lnϕ_X(t) = −t² 2 +c.

Commeϕ_X(0) = 1, on ac= 0 et ϕ_X(t) =e^−t

2 2 .

Deuxi`eme m´ethode est la m´ethode vue en T.D., on a ϕX(t) = ^√1_2π R+∞

−∞ e^itxe^−x

2 2 dx

= 1

√2π Z +∞

−∞

∞

X

n=0

(itx)ⁿ n! e^−x

2 2 dx

= 1

√2π

∞

X

n=0

(it)ⁿ n!

Z +∞

−∞

xⁿe^−x

2 2 dx

=

∞

X

n=0

(it)²ⁿ 2n!

(2n)!

2ⁿn! =e^−t

2 2

Le calcul de l’int´egrale I_2n = ^√1

2π

R+∞

−∞ x²ⁿe^−x

2

2 dx se fait par r´ecurrence sur n (I_2n−1 est nulle puisque c’est l’int´egrale sur R d’une fonction impaire).

Pour justifier l’interversion de la somme et de l’int´egrale, il suffit de v´erifier que l’int´egrale :

√1 2π

Z +∞

−∞

∞

X

n=0

|itx|ⁿ n! e^−x

2

2 dx= 1

√2π Z +∞

−∞

e^|tx|e^−x

2 2 dx

3

est finie. Mais,

√1 2π

Z +∞

−∞

e^|tx|e^−x

2

2 dx = 2

√2π Z +∞

0

e^|t|xe^−x

2 2 dx

= 2

√2π Z +∞

0

e^t

2

2e^{−12(x−|t|)2}dx62e^t

2 2

Troisi`eme m´ethode : Un argument d’int´egrabilit´e permet de montrer comme pr´ec´edemment que la fonction g(z) d’une variable complexe z d´efinie par :

g(z) = 1

√2π Z +∞

−∞

e^zxe^−x

2 2 dx

est d´eveloppable en s´erie enti`ere de rayon de convergence infini. Org(z) se calcule ais´ement par un changement de variable r´eelle si z est r´eel. En effet, on a, alors :

√1 2π

Z +∞

−∞

e^zxe^−x

2

2 dx= 1

√2π Z +∞

−∞

e^z

2

2 e^−(x−z)22 dx=e^z

2 2

Les deux fonctions analytiquesg(z) et e^−z

2

2 sont ´egales pour toute valeur r´eelle dez. Elles sont donc ´egales sur C, d’o`u en particulier pour z =it avect r´eel :

ϕ_X(t) =g(it) = e^−t

2 2

2. Si Y ∼ N(m, σ), on peut repr´esenterY sous la formeY =σX+m o`uX ∼ N(0,1) ; d’o`u ϕY(t) = ϕσX+m(t) = e^itme^−t

2σ2 2

La d´eriv´eeϕ⁰_Y(t) s’´ecrit

ϕ⁰_Y(t) = (im−tσ²)e^itme^−t

2σ2 2

etE(Y) = ¹_iϕ⁰_Y(0) =m.

La d´eriv´eeϕ⁰⁰_Y(t) s’´ecrit

ϕ⁰⁰_Y(t) = −σ2e^itm−t

2σ2

2 + (im−tσ²)²e^itm−t

2σ2 2

etE(Y²) = _i¹2ϕ⁰⁰_Y(0) = −(−σ²+i²m²) = σ²+m²

La varianceV ar(Y) est donc V ar(Y) =σ²+m²−m² =σ² 3. Soit X₁ ∼ N(m₁, σ₁) et X₂ ∼ N(m₂, σ₂), ind´ependantes, alors

ϕX1+X2(t) =ϕX1(t)ϕX2(t) = e^{itm1−σ12t2/2}e^{itm2−σ22t2/2} =e^{it(m1+m2)−(σ12+σ22)t2/2} et comme la fonction caract´eristique caract´erise la loi,X₁+X₂ ∼ N(m₁+m₂,p

σ₁²+σ₂²)

4