Contrˆ ole de Probabilit´ es 2

(1)

Université Abdelmalek Essaâdi Année universitaire : 2017/2018

Facult´e des Sciences de T´etouan S.M.A.

D´epartement de Math´ematiques Semestre 6

Contrˆ ole de Probabilit´ es 2

Dur´ee: 1h30min

Exercice 1 : (5 points)

Soit X une variable aléatoire de loi géométrique surN, de paramètre p∈]0,1[ :

∀n∈N, P(X =n) = (1−p)pⁿ.

On d´esigne par Y etZ le quotient et le reste dans la division deX par a ∈N− {0,1}.

1. D´eterminer la loi conjointe du couple al´eatoire (Y, Z).

2. Déterminer les lois marginales de Y et de Z. En déduire qu’elles sont indépendantes.

On donne deux variables aléatoires X et Y indépendantes suivant toutes les deux des lois de Poisson de paramètres respectifs α etβ. On considère la variable aléatoireZ =X+Y.

1. Calculer la probabilit´eP(Z =n); ∀n ∈N. Quelle est la loi de probabilit´e suivie par Z?

2. D´eterminer la loi conditionnelle de X sachant (Z =n).

I.- On considère deux variables aléatoires X et Y continues, indépendantes qui suivent toutes les deux des lois exponentielles de paramètres respectivesλ >0 etµ >0 avecλ6=µ. On donne leurs fonctions de densité de probabilité :

f_X(x) =

λe^−λx si x>0;

0 si x <0 et f_Y(y) =

µe^−µy si y>0;

0 si y <0 1. Trouver la fonction de r´epartition F(x, y) du couple al´eatoire (X, Y).

2. Trouver la densité de probabilité de la variable aléatoire somme S =X+Y.

3. Calculer la probabilité P(^X_Y < z) avec z est un réel non nul. En déduire la densité de la variable aléatoire Z = ^X_Y .

II.- On consid`ere, maintenant, une variable al´eatoire T continue telle que T =e^X.

1. Déterminer la fonction de densité de probabilité f_T de la variable aléatoire continue T. 2. Déterminer la fonction de répartition F_T de la variable aléatoire continue T.

Bonne chance !

1