Facult´e des Sciences et Techniques - TOURS Ann´ee 2016-2017 Module Analyse Num´erique & Optimisation
Contrˆ ole continu n
◦2
(Dur´ee 3h)
NB : On utilisera les r´esultats du cours sans les red´emontrer.
0. Question pr´eliminaire :(pouvant ˆetre admise) Soit g : [0,1] →IR une fonction continue.
Montrer que :
Z 1 0
g(t)dt≤ max
s∈[0,1]g(s), et qu’il n’y a ´egalit´e dans cette in´egalit´e que si g(t) = max
s∈[0,1]g(s) pour tout t∈[0,1].
On consid`ere le probl`eme variationnel :
(P)
Trouver u∈C01(]0,1[) tel que : J(u) = min
v∈C01(]0,1[)J(v), o`u :
J(v) = 1 2
Z 1 0
|v0(t)|2dt+1 2
Z 1 0
|v(t)|2dt− 1 2
Z 1
0
v(t)dt
2
−
Z 1 0
f(t)v(t)dt , o`uf ∈C([0,1]). Dans toute la suite du probl`eme, on notera ¯v =R01v(s)ds.
1.On suppose que le probl`eme (P) a une solution u et que cette solution est dansC2([0,1])∩ C01(]0,1[). Prouver qu’alors u est solution du probl`eme de Dirichlet :
(P0)
−u00+u−u¯=f dans (0,1) , u(0) =u(1) = 0.
2. Prouver que siv et w sont des fonctions de C2(]0,1[)∩C([0,1]) qui satisfont :
−v00+v −v¯≤f dans ]0,1[,
−w00+w−w¯≥f dans ]0,1[, et :
v(0) ≤w(0) , v(1) ≤w(1) , alors :
v ≤w sur [0,1]. En d´eduire que u est l’unique solution de (P0).
3. D´eterminer une sous-solution et une sursolution de l’´equation (P0) sous la forme : χ(x) =Kx(1−x),
et en d´eduire une estimation de ||u||∞ en fonction de ||f||∞.
Pour r´esoudre num´eriquement le probl`eme, on introduit les points pour xj = j∆x pour 1≤j ≤N, o`u ∆x= N+11 .
4. Soit g : [0,1]→IRune fonction de classe C1. Rappeler pourquoi :
∆x
N
X
k=0
g(xk)→
Z 1 0
g(t)dt.
Puis prouver que :
|∆x
N
X
k=0
g(xk)−
Z 1 0
g(t)dt|=O(∆x). (On pourra estimer |∆xg(xk)−Rxxk+1
k g(t)dt| en estimant d’abord |g(xk)−g(t)|.
5. Pour calculer num´eriquement u, on consid`ere le sch´ema d’approximation num´erique :
−uj+1+uj−1−2uj
(∆x)2 +uj−∆x
N
X
k=0
uk =fj ,
uj est une approximation de u(xj) et fj = f(xj). On pose u0 = uN+1 = 0. Montrer que ce sch´ema est consistant et d´eterminer son ordre. Comment vous y prendriez-vous pour augmen- ter cet ordre ?
6. Prouver que tous les uj sont positifs si tous les fj sont positifs et en d´eduire que la matrice de ce syst`eme est inversible (on pourra consid´erer son noyau).
7. En d´eduire que, pour toute donn´ee de (fj)j, il existe une unique solution U = (uj)j pour le sch´ema num´erique (on pourra montrer que la matrice de ce syst`eme est inversible en d´eterminant son noyau).
8.Donner une estimation qui vous semble raisonnable de maxj|uj−u(xj)|et d´ecrire la m´ethode pour obtenir cette estimation (on ne demande pas tous les d´etails de la preuve mais simplement une id´ee justifiant le cˆote “raisonnable” de votre estimation).
