Correcton de l’examen LM346, 2`eme session de l’ann´ee 2010–2011, sans document.

Correcton de l’examen LM346, 2`eme session de l’ann´ee 2010–2011, sans document.

[1] (2U −1)a est de loi uniforme sur [−a, a]. En effet, pour toute f mesurable born´ee R1

0 f((2u−1)a)du = (2a)⁻¹R1

−1f(t)dt. De mˆeme (2V −1)b est de loi uniforme sur [−b, b].

[2] On aP(ν =k) =P((X1, Y1)6∈Int(C), . . . ,(X_k−1, Y_k−1)6∈Int(C),(Xk, Yk)∈Int(C)). CommeX1, Y1, X2, Y2, . . . est une suite de v.a. ind´ependantes, Xi (resp. Yi) est de loi uniforme sur [−a, a] (resp. [−b, b]), on aP(ν =k) = ((4ab−S)/4ab)^k−1(S/(4ab)).

[3]P(ν <∞) =P∞

k=1P(ν =k) =αP∞

k=1(1−α)^k−1=α/(1−(1−α)) = 1 avecα=S/(4ab).

[4] P((Xν, Yν) ∈ ∆) = P∞

k=1P((X1, Y1) 6∈ Int(C), . . . ,(X_k−1, Y_k−1) 6∈ Int(C),(Xk, Yk) ∈ ∆) = P∞ k=1(1− α)^k−1D/(4ab) =D/4ab×1/α=D/S.

[5] Le vecteur al´eatoire (Xν, Yν) est de loi uniforme surInt(C). Il faut donc simuler la suiteU1, V1, . . ., en calculant X1, Y1, . . .. et attendant l’instant al´eatoireν. On prend la valeur (Xν, Yν).

[6]Eν=αP∞

k=1k(1−α)^k−1=α(−P∞

k=0(1−α)^k))⁰=α/α²= 1/α= 4ab/S. Pour minimiser le temps moyen de la simulation on doit minimiser le produitab tout en pr´eservantInt(C)⊂G.

[7] SoientX₁, X₂, . . .une suite de v.a. ind´ependantes de mˆeme loi, de second moment fini, alors (X₁+· · ·+X_n− nEX₁)/p

nVar (X₁) converge en loi vers la loi Normale d’esp´erance 0 et de Variance 1 quandn→ ∞.

[8] La limite vaut (√

2π)⁻¹Rb(α)

−b(α)exp(−t²/2)dt= 1−2αpar le Thm de la limite centrale.

[9] L’in´egalit´e−b(α)< √^X1+···+Xn

nVar (X1) < b(α) est ´equivalente `a p

Var(X1)>max{(X1+· · ·Xn)/(√

nb(α)), −(X1+

· · ·Xn)/(√

nb(α))}=|(X1+· · ·Xn)/(√

nb(α))|.

AlorsIn(α) = (X1+· · ·+Xn)²/(n(b(α))²).

[10] On poseXi= 0 si lei`eme sond´e n’est pas determin´e dans son choix etXi= 1 (resp. Xi=−1) si lei`eme sond´e est pour le candidatM (resp. N). AlorsX1, . . . , X100000sont des v.a. ind´ep., de mˆeme loi, `a valeurs dans 0, 1,−1 avec probabilit´es 1−p,p/2,p/2 respectivement. On remarque queEX1= 0, VarX1=p. Le r´esultat du sondage nous donne : X1+· · ·+X100000= 26000−28000 =−2000. AlorsI100000(α) = (X1+· · ·+X100000)²/(100000(b(α))²) = 40/(b(α))². L’intervalle approximative pourpest [40/(b(α))²,1].

[11]{1,2}la classe transiente,{3,4,5} et{6,7} les classes r´ecurrentes.

[12] Ce sont les ´etats transients 1 et 2.

[13] (νP)₄P_4,5⁽²⁾= (1/7 + 1/3)p(1−p)

[14] (0,0, c(1−p)/(3−2p), c/(3−2p), c(1−p)/(3−2p),(1−c)2/5,(1−c)3/5) avec une constantec≥0 etc≤1.

[15] La loi initiale est une loi stationnaire (avec c = 1/2). P(X₅ = 4) = 1/(6−4p). P(X₁₀ = 4, X₁₂ = 5) = (µP⁽¹⁰))4P_4,5⁽²⁾=µ4P_4,5⁽²⁾ = (1/(6−4p))p(1−p).

[16] C’est∞ pour i= 1,2, car P(Tⁱ =∞ |Y0 =i)>0. C’est (3−2p)/(1−p), (3−2p), (3−2p)/(1−p) pour i= 3,4,5 respectivement et 5/2, 5/3 pouri= 6,7.

[17] On r´esouth^A₁ = (1/7)h^A₁ + (1/7)h^A₂ + 4/7,h^A₂ = 2/7h^A₁ + 3/7h^A₂ + 1/7, on obtient h^A₂ = 7/11,h^A₁ = 17/22.

[18] Sip6= 0, la classe{3,4,5}est ap´eriodique. Cette limite existe et vaut (17/22)(1/(3−2p)), (7/11)(1/(3−2p)) pour i= 1,2, respectivement, elle vaut 1/(3−2p) pour i= 3,4,5 et 0 pouri= 6,7.

Si p= 0, la classe {3,4,5} est p´eriodique, cette limite n’existe pas pouri= 1,2,3,4,5. Elle vaut 0 pouri= 6,7 carP(Xn= 4|X0=i) = 0 pour toutn≥0.

[19] On posep6= 0. Cette limite vaut (1/3)(17/22)(1/(3−2p)) + (1/3)(1/(3−2p)).

[20] Pouri= 1,2 : P(lim_n→∞N_iⁿ=∞ |X₀=i) = 0, donc (n⁻¹N_nⁱ)→0 presque sˆurement siX₀=i.

Cette limite vaut (1−p)/(3−2p), 1/(3−2p), (1−p)/(3−2p), 2/5, 3/5 pouri= 3,4,5,6,7 par le Thm ´ergodique pour toutp∈[0,1[.

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