Examen LM 334: 2`eme session janvier 2011

Examen LM 334: 2`eme session janvier 2011

Le sujet d’examen se compose de deux exercices ind´ependants, `a r´ediger sur DEUX feuillets diff´erents avec nom de l’´etudiant inscrit sur CHAQUE feuillet (remettre les deux feuillets `a la fin de l’examen mˆeme si l’un des exercice n’a pas ´et´e trait´e).

Documents autoris´es. Calculatrices et t´el´ephones portables interdits.

Exercice 1 : On se donne une fonctionf :R→Rde classeC⁴. On cherche `a calculer de mani`ere approch´ee l’int´egrale sur [0,1] du carr´e de sa d´eriv´ee seconde I=R1

0 |f^′′(t)|²dt, `a partir des valeurs ponctuelles def. Pourn >0 eth= 1/n on pose pour tout entier i, ai = ih = i/n. On va ´etudier la pr´ecision de la quadrature suivante:

Q=

n−1X

i=0

(f(ai−1)−2f(ai) +f(ai+1))²+ (f(ai)−2f(ai+1) +f(ai+2))²

2h³ .

Pour k ≤ 4, on pose Mk = kf^(k)k = supt∈IR|f^(k)(t)| o`u f^(k) est la d´eriv´ee d’ordrekdef.

1. On poseR=hPn−1 i=0

f^′′(ai)²+f^′′(ai+1)²

2 .

Prouver l’estimation d’erreur|R−I| ≤C0h²o`u la constanteC0ne d´epend que deM2,M3et M4, d’une mani`ere que l’on pr´ecisera.

2. On poseci=^{f(ai−1)−2f(a}_h2^i)+f(ai+1).

Montrer que|R−Q| ≤maxi=0,···,n|c²_i −f^′′(ai)²|.

3. Montrer que pour toution a|ci−f^′′(ai)| ≤ ^M₁₂⁴h².

4. En d´eduire l’estimation|R−Q| ≤C1h²,. o`u la constanteC1 ne d´epend que deM2etM4, d’une mani`ere que l’on pr´ecisera.

5. En d´eduire une estimation d’erreur entre Qet I.

Exercice 2 :

Pour deux vecteursU = (ui)1≤i≤n ∈RⁿetV = (vi)1≤i≤n∈Rⁿ, on d´efinit le produit scalaire euclidien dansRⁿpar (U, V) =Pn

i=1uivi. La norme euclidienne est kUk = pPn

i=1u²_i. On se donne une matrice n×n M ∈ Mn(R) qui est antisym´etrique, c’est `a dire telle queM =−M^tet un vecteurU0∈Rⁿ.

1

On s’int´eresse `a l’int´egration num´erique de l’´equation diff´erentielle ordinaire dont l’inconnue est la fonctionx7→U(x)∈Rⁿ

U^′(x) =M U(x), 0< x < L, U(0) =U0.

a. ExprimerU(L) `a l’aide d’une exponentielle de matrice.

b. Rappeler pourquoi e^Mt = e^Mt

. En d´eduire que pour tout Z ∈ Rⁿ alors e^MZ, e^MZ

= (Z, Z). En d´eduire quekU(L)k=kU0k.

c. On se donne deux matrices antisym´etriquesA et B dans Mn(R) telles que M =A+B. On ´etudieUe(L) =e^AL2 e^BLe^AL2 U0.

Montrer que la diff´erence avecU(L) peut se mettre sous la forme Ue(L)−U(L) =R(L)U0

o`u la fonction matricielleL 7→R(L) est de classe C³ et telle queR(0) = R^′(0) =R^′′(0) = 0.

d. Montrer qu’il existe une constanteC >0 que l’on pr´ecisera telle quekR(x)k ≤ Cx³.

e. On se donne une subdivision 0 =a0< a1< a2<· · ·< an =Lde l’intervalle [0, L] et on d´efinit la suite num´erique

Uⁱ⁺¹=e^Ali2 e^Blie^Ali2 Uⁱ, li=ai+1−ai, 0≤i≤n−1, U⁰=U0.

Soit Wⁱ = Uⁱ−U(ai). Montrer que Wⁱ⁺¹ = R(li)Uⁱ+E^{M li}Wⁱ. En d´eduire l’estimation||Uⁿ−U(L)|| ≤CLl²avecl= maxi(ai+1−ai).

2