Dans cet exercice nous consid´erons la m´ethode de la s´ecante pour un calcul it´eratif dex?

Examen LM 334: 1`ere session janvier 2011 Le sujet d’examen se compose de deux exercices ind´ependants.

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Exercice 1 (12 pts)

On se donne une fonction f : R → R de classe C³. On suppose que f⁰(x) > 0 pour tout x ∈ R et que f poss`ede un unique z´ero not´e x^? : f(x^?) = 0. Dans cet exercice nous consid´erons la m´ethode de la s´ecante pour un calcul it´eratif dex^?.

Tout d’abord on se donne deux nombres r´eels,x⁰quelconque etx¹6=x⁰. Ensuite on d´efinit xⁿ⁺¹ par :

xⁿ⁺¹ =xⁿ−f(xⁿ)(xⁿ−xⁿ⁻¹) f(xⁿ)−f(xⁿ⁻¹) .

Par r´ecurrence cela construit la suite n7→ xⁿ. L’analyse de cette m´ethode fait l’objet des questions qui suivent.

1) Montrer quexⁿ⁺¹ est bien d´efini si xⁿ6=xⁿ⁻¹.

Rappeler pourquoi cette m´ethode peut se concevoir comme une mod- ification de la m´ethode de Newton.

2) On suppose qu’il existe un indice p≥2 tel quef(x^p)−f(x^p−1) = 0, et tel que f(x^q)−f(x^q−1) 6= 0 pour tout 1 ≤ q ≤ p−1. Montrer que x^p =x^p−1 =x^?, ce qui fait que la suite a converg´e vers le point fixe avant qu’il soit besoin de calculerx^p+1.

Par la suite on supposera au contraire quef(x^p)−f(x^p−1)6= 0 pour toutp≥1: par r´ecurrencexⁿ⁺¹ est correctement d´efini pour tout n.

3) On poseX= X₁

X2

∈R². Soitϕ:R²→R la fonction `a valeur r´eelle d´efinie par :

ϕ(X) = f(X1)−f(X2)

X₁−X₂ pourX1 6=X2, etϕ(X) =f⁰(X1) pourX1 =X2.

SoitG:R²→R² la fonction `a valeur vectorielle d´efinie par :

G(X) =









X1− f(X1) ϕ(X1, X2)

X1









∈R².

1

Montrer que l’algorithme de la s´ecante se re-´ecritXⁿ⁺¹=G(Xⁿ) avec Xⁿ=

xⁿ xⁿ⁻¹

. D´eterminer les points fixes deG.

4) Calculer _∂X^∂

1ϕet_∂X^∂

2ϕd’abord pourX16=X2, et ensuite pourX1=X2. En d´eterminer dG(X) pourX₁6=X₂, puis pourX₁ =X₂ 6=x^?.

5) Montrer que dG(X^?) =

0 0 1 0

. En d´eduire que la m´ethode de la s´ecante converge versx^? pour x⁰ et x¹ suffisament proche de x^?. 6) Quelle estimation de convergence pour |x−xⁿ| peut on en d´eduire en

utilisant les r´esultats du cours ?

Exercice 2 (8 pts)

On cherche `a approcher l’int´egraleI(f) =R1

−1f(t)dt par une quadrature simple

Q(f) =ω₁f(c) +ω₂f(−c), o`uc est fix´e dans [0,1] etω1+ω2= 2.

a) Montrer que la quadrature est d’ordre 1, c’est `a dire Q(f) = I(f) pour toutf ∈ P₁, si et seulement si ω1 =ω2 = 1.

b) On suppose cela dans toute la suite de l’exercice, c’est `a dire Q(f) =f(c) +f(−c),

Quelle quadratures classiques retrouve-t-on si on prendc= 1 ? c= 0

?

c) Montrer que pour la fonction f(x) = x^k on a toujours Q(f) = I(f) lorsquekest impair.

d) D´eterminer la valeur de cqui permet d’avoir Q(f) =I(f) pour la fonc- tionf(x) =x².

e) Montrer que pour cette valeur, la quadrature est d’ordre 3 mais pas d’ordre sup´erieur. De quelle quadrature classique s’agit-il ?

f ) On consid`ere un intervalle [a, b] et une subdivision a=a<sub>0</sub> <· · ·< a<sub>n</sub> = b. Donner l’expression S(f) de la quadrature compos´ee associ´ee `a la quadrature simple obtenue dans la question d) pour cette subdivision.

Etablir une estimation de l’erreur entreS(f) et J(f) =Rb

af(t)dt.

2