1 L 323 EXAMEN 2ème SESSION DE JANVIER 2007 Exercice n

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L 323 EXAMEN 2ème SESSION DE JANVIER 2007 Exercice n^o1

Soit ABC un triangle. On note a; b; c les longueurs des côtés BC; CA; AB et on suppose b > c ; la bissectrice intérieure du secteur [BAC ; s la symétrie orthogonale par rapport à ; D la droite s(BC) ; ⁰ la droite Bs(B) ; C⁰; A⁰; B⁰ les milieux de AB; BC; CA ; C le cercle circonscrit à ABC et C⁰ le cercle circonscrit à A⁰B⁰C⁰; Ci le cercle inscrit de ABC et J; X et Y ses points de contact avec BC, CA et AB ; Cele cercle exinscrit de ABC tangent au côté BC et L; U et V ses points de contact avec BC, CA et AB ; N = s(B) et P = A⁰C⁰\ D. Enn I est l'inversion de puissance A⁰J² et de pôle A⁰.

1) Montrer qu'il existe une homothétie h telle que h(A⁰) = A et h(C⁰) = C.

2) Montrer que la tangente T à C en A est parallèle à D.

3) Montrer que AU = AV et en déduire que BL CL = b c:

4) Montrer que CJ BJ = b c.

5) Calculer les longueurs de A⁰J et de A⁰L.

6) Montrer que Ci et Ce sont (globalement) invariants par I.

7) Montrer que les droites ; ⁰ et A⁰C⁰ sont concourantes. On note M leur intersection.

8) Montrer que A⁰P A⁰C⁰ = A⁰M² = A⁰J². 9) Montrer que C et D sont échangés par I.

10) Conclusion ? Exercice n^o2

Dans un plan euclidien muni d'un repère orthonormé O; !{ ; !|

soit A et A⁰ de coordonnées (1; 1) et ( 1; 1) ; et ⁰ les droites d'équation y = 1 et y = 1 ; et C la conique d'équation x² 2xy + ( + 1)y² = , pour 2 R.

1) Discuter la nature de C suivant la valeur de .

2) Montrer que pour 2 R; C passe par A et A⁰ où elle admet et ⁰ pour tangentes.

3) Montrer que si 2 R les foyers de C sont sur l'hyperbole H d'équation xy = 1.

4) Soit F de coordonnées (t; 1=t) un foyer de C. Calculer l'excentricité de C en fonction de t.

5)¹ Montrer que les sommets² de C sont sur la courbe d'équation polaire r² = 1 + cot . 6)¹ Donner l'allure de et montrer que est semblable à son image par une inversion de pôle O.

On pourra utiliser la formule cot(x y) = cot x cot y + 1 cot y cot x .

1Questions hors barème. ²2 si c'est une hyperbole, 4 si c'est une ellipse.

2

U V

X Y

A

A⁰ P B

B⁰

N

C

C⁰

J L

M

⁰

D

C⁰

C

C_i

C_e

T

Sur cette gure les droites BC et D sont perpendiculaires. Ce n'est pas vrai en général. De même les points X et B⁰ ne sont confondus que si ABC est isocèle en B.

Vous pouvez insérer cette gure dans votre copie et écrire dessus.