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Exercice 1 - Écrire en fonction de

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

JF FERRARIS – L1 – IUT1 – Nombres complexes – TD4. Trigonométrie.

Page 1

Exercice 1 -

Écrire en fonction de sin θ, cos θ, tan θ (grâce à la formule de Moivre) : a. cos 2θ et sin 2θ b. tan3θ sin θ

  

c. 2 d. cos 4θ et sin 4θ.

Exercice 2 -

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

1) a. Donner le module et l'argument du nombre complexe z= 3+i. b. En déduire l'ensemble des entiers n tels que

(

3+i

)

n est réel.

2) a. En utilisant les nombres complexes, calculer les coordonnées du point B, image du point A 1 , 3

( )

par la rotation de centre O 0 , 0 et d'angle

( )

6 π.

b. Toujours en utilisant les nombres complexes, calculer les coordonnées du point E, image du point

( )

D 0 , 2 par la rotation de centre C 1 , 2

(

+ 3

)

et d'angle 6 π.

c. Faire une figure montrant le positionnement des points A, B, C, D, E.

Exercice 3 -

Linéariser : a. cos4θ b. sin3θ c. sin4x

Exercice 4 -

1) Linéariser, c'est-à-dire, à l'aide de la formule d'Euler, exprimer en fonction de cos2x et cos4x, l'ex- pression : 4cos4x+4sin4x

2) En déduire les solutions de l'équation cos4 sin4 5

4 4

x+ x=2 .

3) Représenter sur un cercle trigonométrique les différentes familles de solutions.

Exercice 5 -

Calculer les lignes trigonométriques de sin 2 , cos 2 ,sin 4 ,cos 4

3 3 3 3

π π π π

       

       

       .

Retrouvez ces valeurs à partir du calcul des racines cubiques de l’unité.

Exercice 6 -

L'objectif de cet exercice est de déterminer les valeurs de x telles que sin

( )

x +sin

( )

2x +sin

( )

3x =0.

1) a. A l'aide de la formule de Moivre, retrouver une écriture de sin

( )

2x en fonction de sinx et cosx. De même, déterminer une écriture de sin

( )

3x en fonction de sinx et cosx.

b. Montrer alors l'égalité sin

( )

x +sin

( )

2x +sin

( )

3x =sin

( )(

2x 1 2+ cosx

)

.

2) a. Grâce à cette égalité, déterminer les valeurs de x telles que sin

( )

x +sin

( )

2x +sin

( )

3x =0.

b. Représenter les solutions de cette équation sur le cercle trigonométrique.

(2)

JF FERRARIS – L1 – IUT1 – Nombres complexes – TD4. Trigonométrie.

Page 2

Exercice 7 -

On considère l'application f définie dans l'ensemble des nombres complexes par :

( )

4 3 2 2

z֏ f z =z − + +z z

Dans ce problème, on aura avantage à utiliser la forme exponentielle ou la formule de Moivre.

1) Montrer que, si l'équation (1) : f z

( )

=0 admet pour solution le nombre complexe

α

, alors elle ad- met aussi pour solution le nombre α (complexe conjugué de

α

).

2) Montrer que les nombres 1+i et − +1 i 3

2 2 sont solutions de l'équation (1).

3) Donner l'ensemble des solutions de l'équation (1). En déduire une factorisation de f z

( )

.

4) Écrire f z

( )

comme un produit de deux polynômes du second degré à coefficients réels.

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