JF FERRARIS – L1 – IUT1 – Nombres complexes – TD4. Trigonométrie.
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Exercice 1 -
Écrire en fonction de sin θ, cos θ, tan θ (grâce à la formule de Moivre) : a. cos 2θ et sin 2θ b. tan3θ sin θ
c. 2 d. cos 4θ et sin 4θ.
Exercice 2 -
Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
1) a. Donner le module et l'argument du nombre complexe z= 3+i. b. En déduire l'ensemble des entiers n tels que
(
3+i)
n est réel.2) a. En utilisant les nombres complexes, calculer les coordonnées du point B, image du point A 1 , 3
( )
par la rotation de centre O 0 , 0 et d'angle
( )
6 π.
b. Toujours en utilisant les nombres complexes, calculer les coordonnées du point E, image du point
( )
D 0 , 2 par la rotation de centre C 1 , 2
(
+ 3)
et d'angle 6 π.c. Faire une figure montrant le positionnement des points A, B, C, D, E.
Exercice 3 -
Linéariser : a. cos4θ b. sin3θ c. sin4x
Exercice 4 -
1) Linéariser, c'est-à-dire, à l'aide de la formule d'Euler, exprimer en fonction de cos2x et cos4x, l'ex- pression : 4cos4x+4sin4x
2) En déduire les solutions de l'équation cos4 sin4 5
4 4
x+ x=2 .
3) Représenter sur un cercle trigonométrique les différentes familles de solutions.
Exercice 5 -
Calculer les lignes trigonométriques de sin 2 , cos 2 ,sin 4 ,cos 4
3 3 3 3
π π π π
.
Retrouvez ces valeurs à partir du calcul des racines cubiques de l’unité.
Exercice 6 -
L'objectif de cet exercice est de déterminer les valeurs de x telles que sin
( )
x +sin( )
2x +sin( )
3x =0.1) a. A l'aide de la formule de Moivre, retrouver une écriture de sin
( )
2x en fonction de sinx et cosx. De même, déterminer une écriture de sin( )
3x en fonction de sinx et cosx.b. Montrer alors l'égalité sin
( )
x +sin( )
2x +sin( )
3x =sin( )(
2x 1 2+ cosx)
.2) a. Grâce à cette égalité, déterminer les valeurs de x telles que sin
( )
x +sin( )
2x +sin( )
3x =0.b. Représenter les solutions de cette équation sur le cercle trigonométrique.
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Exercice 7 -
On considère l'application f définie dans l'ensemble des nombres complexes par :
( )
4 3 2 2z֏ f z =z − + +z z
Dans ce problème, on aura avantage à utiliser la forme exponentielle ou la formule de Moivre.
1) Montrer que, si l'équation (1) : f z
( )
=0 admet pour solution le nombre complexeα
, alors elle ad- met aussi pour solution le nombre α (complexe conjugué deα
).2) Montrer que les nombres 1+i et − +1 i 3
2 2 sont solutions de l'équation (1).
3) Donner l'ensemble des solutions de l'équation (1). En déduire une factorisation de f z
( )
.4) Écrire f z