Déterminer les valeurs suivantes. Vous pouvez utiliser les dimensions du triangle rectangle suivant. Représenter l’angle où vous évaluer la fonction trigonométrique dans le cercle

Yannick Delbecque — Département de mathématiques, Cégep St-Laurent Outils mathématiques électroniques 1 — 201-716 — Automne 2019

Formatif 4

Question 1

Déterminer les valeurs suivantes. Vous pouvez utiliser les dimensions du triangle rectangle suivant. Représenter l’angle où vous évaluer la fonction trigonométrique dans le cercle

trigonométrique.

a) sin

_2π

3

b) tan

_5π

3

Question 2

Démontrer l’identité cos(θ −

^π

2

) = sin(θ) à l’aide du cercle trigonométrique.

Question 3

Représenter les vecteurs suivants dans le plan cartésien.

a) (−2, 3) b) 5 ∠

^4π₃

rad Question 4

a) Donner la représentation polaire du vecteur ~ u = (−3,4) b) Donner la représentation cartésienne du vecteur ~ v = 2∠

^2π₃

rad

Question 5

Soient les vecteurs suivants :

~

u = (−3,1), ~ v = (2, 3) et w ~ = (1,−2) Évaluer les expression suivantes.

a) 3~ u b) ~ u + ~ v − w ~ c) k~ wk d) ~ u · w ~

Question 6

Déterminer l’angle entre les vecteurs (−2,5) et (3, −3).

Question 7

Donner un vecteur de même sens et direction que le vecteur

~ v = (2,4,−1) mais de longueur 10.

Question 8

Soient les nombres complexes suivants :

z

₁

= 2 + i, z

₂

= 4 − i, z

₃

= −2 + 5i et z

₄

= −7 − i Évaluer les expression suivantes, donner la réponse sous la forme a + bi.

a) Re(z

₁

) b) Im(z

₄

)

c) |z

₂

| d) z

₂

e) z

₁

+ z

₂

f) z

₃

z

₄

g)

^z_z¹

2

h)

^3eiπ/3

2e^iπ/6

Question 9

Mettre les nombres complexes suivants dans la forme demandée.

a) 1 + i sous la forme polaire b) 3e

^iπ6

sous forme cartésienne.

Question 10

Additionner les signaux sinusoïdaux suivants : f

₁

(x) = 3 sin(x + π) f

₂

(x) = 2 sin

x + π 4

.

p. 2 Formatif 4

Solutions

Question 1 a)

√ 3 2 b) tan

_5π

3

=

^sin

_5π

3

cos_5π

3

=

⁻_1/2^√3/2

= − √ 3

Question 2

P(θ)

P(θ − π/2)

cos(θ−π/2) sin(θ)

Question 3 a)

~ u

b)

~ v

Question 4 a) k~ uk = p

(−3)

²

+ 4

²

= √ 25 = 5.

θ

_~u

= arctan

₄

−3

= arctan

−

⁴

3

. Donc

~ u = 5 ∠ arctan − 4 3

!

b) ~ v = 2 cos

_2π

3

, 2 sin

_2π

3

=

2

−

¹

2

,2

^√

3 2

=

− 1, √ 3

Question 5

a) 3~ u = 3(−3,1) = (3(−3),3(1)) = (−9, 3).

b)

~

u + ~ v− w ~ = (−3,1) + (2,3) −(1,−2)

= ( − 3 + 2 − 1, 1 + 3 − ( − 2))

= (−2,6)

c) k~ wk = p

1

²

+ (−2)

²

= √

1 + 4 = √ 5 d) ~ u ·~ v = ( − 3, 1) · (1, − 2) =

(−3)(1) + (1)(−2) = −5

Question 6

θ = arccos (−2,5) · (3, −3) k(−2,5)kk(3, −3)k

!

= arccos



 

 

 

− 21 p (−2)

²

+ 5

²

p

3

²

+ (−3)

²



 

 

 

= arccos −21

√ 29 √

18

!

Question 7

On normalise le vecteur ~ v : k~ vk = q

2

²

+ 4

²

+ (−1)

²

= √

4 + 16 + 1 = √ 21 Le vecteur

~ v k~ vk = 1

√

21 (2,4, −1) = 2

√ 21 , 4

√ 21 , − 1

√ 21

!

est un vecteur de longueur 1. En

multipliant par le scalaire 10, on obtient un vecteur de longueur 10 :

10 ~ v

k~ v k = 10 2

√ 21

, 4

√ 21

,− 1

√ 21

!

= 20

√ 21 , 40

√

21 , − 10

√ 21

!

Question 8

a) Re(z

₁

) = Re(2 + i) = 2.

b) Im(z

₄

) = Im(−7 −i) = −1 c) |z

₂

| = p

4

²

+ (−1)

²

= √ 17 d) z

₂

= 4 −i = 4 + i

e) (2 + i) + (4 − i) = 6

f) (−2 + 5i)(−7 −i) = ((−2)(−7) − 5(−1)) + ((5)(−7) + (−2)(−1))i = 19 −33i g)

^z_z¹

2

=

²⁺ⁱ_4−i

=

^(2+i)(4+i)_(4−i)(4+i)

=

^((2)(4)+i

√

^2)+(2+4)i

4²+(−1)²2

=

7+6i

17

=

₁₇⁷

+

₁₇⁶

i h)

^3eiπ/3

2e^π/6

=

³₂

e

ⁱ

_π

3−^π

6

=

³₂

e

^iπ/6

=

^3√₄³

+

³₄

i

Question 9 a) | 1 +i | = √

1

²

+ 1

²

= √ 2 ; θ = arctan

₁

1

= arctan(1) =

^π₄

b) 3e

^ipi6

= 3(cos(π/6) + i sin(π/6) =

3

^√

3 2

+ i

¹₂

=

^3√₂³

+ i

³₂

.

Question 10

Nombre complexe de départ associé à f

₁

: z

₁

= 3e

^iπ

= −3 + 0i.

Nombre complexe associé à f

₂

: z

₂

= 2e

^iπ/4

= √

2 + √ 2i.

Somme z = z

₁

+ z

₂

: z = 3 + √

2 + √ 2i.

Forme polaire de z : |z| = q

(−3 + √ 2)

²

+ √

2

²

= q (−3 + √

2)

²

+ 2.

φ = arctan

^√

2

−3+√ 2

La fonction sinuosidale résultante est f

₁

(t) + f

₂

(t) = |z|sin(t + φ)

= q

(−3 + √ 2)

²

+ 2

! sin



 

 

 t + arctan



 

 



√ 2

−3 + √ 2



 

 





 

 

 .

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