UNIVERSITÉPIERRE& MARIECURIE(PARIS 6) LICENCE DEMATHÉMATIQUES L2
UE LM231 – PROBABILITÉS DE BASE ANNÉE2011-12 (L.Mazliak)
Examen du 27 juin 2012 (2ème Session)
durée 2 heures
TOUS DOCUMENTS ET CALCULATRICES INTERDITS
1er exercice
a) SoientAetBdeux événements. Montrer queP(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B).
b) SoientAetBdeux événements tels queP(B)6= 0. Montrer queP(A/B)≥P(A∩B).
2ème Exercice
SoitXune variable aléatoire réelle telle queE(X) =metVarX=σ2. On se donne unα≥0.
1- Soitλ≥0. Montrer queP(X−m≥α) =P(X−m+λ≥α+λ).
2- CalculerE[(X−m+λ)2].
3- Montrer que
P(X−m≥α)≤P((X−m+λ)2≥(α+λ)2) et que
P(X−m≥α)≤ σ2+λ2
α2+λ2+ 2λα,∀λ≥0.
4- En étudiant la fonctionϕ(λ) = σ2+λ2
α2+λ2+ 2λα, déduire l’inégalité de Cantelli
P(X−m≥α)≤ σ2 α2+σ2 5- Montrer que
P(|X−m|≥α)≤ 2σ2 α2+σ2
Quand cette inégalité est-elle meilleure que l’inégalité de Bienaymé-Tchebitcheff ? 3ème exercice
Soit(X1, . . . , Xn)unn-échantillon de la loi de Poisson de paramètreλ >0.
a) Que vaut l’espérance deXi?
b) Déterminer un estimateur sans biais deλ.
c) Que vaut lim
λ→0+
eλ λ ?
d) Peut-on construire un estimateur sans biais de1/λ? 4ème exercice
SoitF la fonction définie surIRpar∀y∈IR, F(y) = 1 1 +e−y.
1) Montrer queF est croissante, continue et tend vers 0 en−∞et vers 1 en+∞.
F est la fonction de répartition d’une loi de probabilité diteloi logistique.
2) On considèreZune variable aléatoire suivant la loi logistique.
a) Déterminer la densité de probabilité deZ.
b) Soityun réel positif. Montrer queF(y) +F(−y) = 1.
c) SoitU une variable aléatoire de loi uniforme sur ]0,1[.
Déterminer la loi de la variable aléatoireW = ln U 1−U
. Indication : On cherchera la fonction de répartition deW.
