UNIVERSITÉPIERRE& MARIECURIE(PARIS 6) LICENCE DEMATHÉMATIQUES L2
UE LM231 – PROBABILITÉS DE BASE ANNÉE2011-12 (L.Mazliak)
Examen du 6 juin 2012 (1ère Session)
durée 2 heures
TOUS DOCUMENTS ET CALCULATRICES INTERDITS 1er exercice (5 points)
a) SoientAetBdeux événements indépendants. Montrer queAcetBcsont également indépendants (oùAc désigne comme d’habitude le complémentaire deA).
b) Soientnévénements indépendantsA1, . . . , An.
Calculer en fonction desP(Ai)la probabilitéq=P(Ac1∩Ac2∩. . .∩Acn).
c) En déduire la valeur dep=P(A1∪A2∪. . .∪An).
d) Montrer que pour toutx >0, on a1−x≤e−x. e) Déduire que1−p≤exp{−Pn
i=1P(Ai)}
2ème Exercice (3 points )
1) 5%des articles sortant d’une usine présentent un défaut. Quelle est la probabilité pour que dans un lot de 400 articles il y ait exactement deux articles défectueux. Donner une approximation de cette probabilité en utilisant une loi de Poisson.
2) SoitXune v.a.r. de loi de Poisson de paramètreλ >0.
a) Pourk∈IN, calculer P(X=k) P(X=k+ 1).
b) On suppose que λest un entier naturel non nul. Montrer que P(X = k) est maximal pour k = λ ou k=λ−1.
3ème exercice (3 points)
On considère une loi de probabilitépθoùθest un paramètre inconnu dans]0,1[, telle que pθ(−1) =θ, pθ(2) = 1−θ.
Une v.a.r. de loipθprend donc -1 ou 2 comme valeurs. Soit(X1, . . . , Xn)unn-échantillon de la loipθ. a) CalculerEθ(X1)
b) DéduireEθ(X1+. . .+Xn)et trouver un estimateur sans biais deθ.
c) Que vautEθ(X12)? En déduire un autre estimateur sans biais deθ.
4ème exercice (9 points)
SoitT une variable aléatoire positive qui représente la durée de vie (c’est-à-dire le temps de fonctionnement avant la survenue d’une première panne) d’un système. On suppose queTest une variable à densitéfT continue sur[0,+∞[et ne s’annulant pas sur]0,+∞[.
On appelle fiabilité deT la fonctionRT définie sur[0,+∞[par
RT(t) =P(T ≥t) =P(T > t) = 1−FT(t) oùFT est la fonction de répartition deT.
1) Soienttun réel positif ou nul ethun réel strictement positif.
La dégradation du système sur l’intervalle[t, t+h]est mesurée par la probabilitéP(t≤T ≤t+h).
Exprimer cette quantité à l’aide de la fonctionRT. 2) Montrer que, pour tout réeltpositif ou nul,
h→0,h>0lim
P(t≤T ≤t+h)
h =fT(t)
1
TSVP
3) a) Justifier que pour tout réeltpositif,RT(t)>0
On appelle taux de défaillance la fonction définie sur[0,+∞[par le rapportλ(t) = fT(t) RT(t). b) Montrer queλ(t) = d
dtln( 1 RT(t)).
c) Déduire l’expression deRT en fonction deλà l’aide d’une intégrale.
4) SoitZ une variable aléatoire réelle positive de densitégcontinue sur[0,+∞[, admettant une espérance.
On poseRZ(t) =P(Z > t)pourt≥0.
a) Soitvla fonction définie surIR+parv(t) =tRZ(t).
Montrer que
tg(t) =RZ(t)−v0(t) oùv0désigne la dérivée dev.
b) Montrer que lim
t→+∞v(t) = 0.
c) En déduire queE(Z) = Z +∞
0
RZ(t)dt.
2
