Troisième année de licence - Parcours M-MP
Examen d’analyse complexe - 2ème Session - 22 Juin 2007
Durée: 2 heures
Exercice 1 :
Soientf, gdeux fonctions entières telles que|f| ≤ |g|surC.
a) Soit a un zéro deg d’ordre p ≥ 1. Montrer que a est un zéro def d’ ordre de multiplicité ≥ p.
(Considérerf(z)/(z−a)p−1).
b) Montrer qu’on peut prolonger f
g en fonction analytique dans un voisinage dea,puis en fonction entière.
c) Montrer quef =λgsurC,oùλest une constante.
Exercice 2 :
On fixe un réel c tel que 0 < c < 1. On note “ Lg ” la détermination du logarithme définie sur Ω =C\R+par
Lg(reiθ) = lnr+iθ, r >0, 0< θ <2π.
Soitzc la fonctionz 7→exp(cLgz). SurΩ\ {−1}on pose
f(z) = 1
zc(1 +z). On prolongef surC\ {−1,0}en posantf(x) = 1
xc(1 +x), x >0.
1.a) Calculerzc enz =−1.
1.b) Calculer lim
α→0+ Lg(x+iα), lim
α→0+ Lg(x−iα), lim
α→0+(x+iα)c et lim
α→0+(x−iα)c pourx >0.
2) Soit γρ le cercle centré à l’origine, de rayon ρ, parcouru dans le sens trigonométrique. Pour 0 < α < ρ soit γα,ρ la portion de ce cercle d’origine le point Aρ d’affixe p
ρ2−α2 + iα, d’extrémitéBρd’affixep
ρ2 −α2−iα. Montrer que
Z
γα,ρ
f(z)dz
≤2π ρ1−c
|1−ρ|.
3) Soient 0 < α ≤ r2 < r < 1 < R. Soit Γα,r,R le chemin fermé parcouru dans le sens direct formé par les deux portions de cercles γα,r etγα,R et les segments de droites{√
r2−α2 ≤ Rez ≤
√R2 −α2,Imz =±α,}.CalculerR
Γα,r,Rf(z)dz.(On précisera le théorème utilisé).
4.a) Montrer que|f| ≤(2r)csur le rectangleS ={r2 ≤Rez ≤R,|Imz| ≤ 1}. 4.b) En déduire que
αlim→0+
Z √R2−α2
√r2−α2
f(x+iα)dx= Z R
r
f(x)dx=e2iπc lim
α→0+
Z √R2−α2
√r2−α2
f(x−iα)dx.
(On pourra, en le justifiant, utiliser le théorème de convergence dominée).
5) Conclure que
Z ∞
0
1
xc(1 +x)dx= π sinπc.
