EXAMEN session 1 VARIABLE COMPLEXE

Licence de Mathématiques. Université d’Artois. 2016-2017.

12/05/2017.

EXAMEN session 1 VARIABLE COMPLEXE

Les calculatrices et les documents sont interdits.

La rédaction sera prise en compte dans la notation.

Dans tout le sujet, le disque unité ouvert du plan complexe est noté

D

^. Cours. (13 points=(1+1)+(2+0,5)+(0,5+1+1)+3,5+(1,5+1))

1) (i) Enoncer le théorème de Rouché.

(ii) Application: montrer que le polynôme Ppzq “ 1`3z<sup>7</sup> `z⁴² a exactement 7 racines distinctes dans

D

^{. (}Indication: Ppzq “ p1`z<sup>42</sup>q `3z⁷).

2) Soitϕ:

D

^Ñ

D

une fonction holomorphe sur

D

et continue sur

D

. On suppose queϕp0q “0.

(i) Montrer que pour tout zP

D

^{, on a}|ϕpzq| ď |z|. (Indication: on pourra considérerzÞÑϕpzq{z).

(ii) On suppose qu’il existeaP

D

^{zt0u tel que} |ϕpaq| “ |a|. Que vaut ϕpzq(pour zP

D

^{) ?} 3) (i) Rappeler la définition de la détermination principale du logarithme, que l’on notera Log.

(ii) Justifier qu’il existe une suite pc_nqně1, que l’on précisera, telle que pour tout z P

D

^{, on} ait

Logp1`zq “

`8

ÿ

n“1

cnzⁿ

(iii) Application: déterminer lim

nÑ`8

´

1`2iπ n

¯_n² . 4) Soitn un entier naturel non nul.

Justifier l’existence de I_n“ ż_`8

´8

1

1`x²ⁿ dxet calculerI_n en utilisant la méthode des résidus.

5) Soitgnpzq “ n²´1´n²z

n²´ pn²´1qz pour ně1 (entier) etzP

D

^. (i) Montrer que la série de fonctions ÿ

ně1

pg_n´1q converge uniformément sur tout compact de

D

^.

(ii) En déduire que le produit infini ź

ně1

g_n définit une fonction holomorphe Gsur

D

^{. Quels} sont les zéros deG?

Exercice 1 (4,5 points=0,5+1+1,5+0,5+1)

Soit aP

D

. On considère la fonctionϕ_apzq “ a´z 1´az¯ ¨ 1) (i) Montrer queϕ_aPHp

D

^{q XC`}

D

^˘.

(ii) En utilisant le principe du maximum, justifier queϕa

`

D

^˘Ă

D

^. (iii) Identifierϕ_a˝ϕ_a puis montrer que ϕ_ap

D

^{q “}

D

^.

2) On considère une fonctionf holomorphe sur

D

à valeurs dans

D

^.

(i) Soit g“ϕ_fpaq˝f˝ϕ_a: justifier queg est une fonction holomorphe qui envoie

D

^dans

D

^. Que vautgp0q?

(ii) Montrer pour tousz, aP

D

^: ˇ ˇ ˇ

fpzq ´fpaq 1´fpaqfpzq

ˇ ˇ ˇď

ˇ ˇ ˇ

z´a 1´¯az

ˇ ˇ ˇ.

Exercice 2. (6 points=1,5+1+1,5+1+1) On s’intéresse à I “

ż_`8

0

lnpxq

px`1qpx`2q dxetJ “ ż_`8

0

plnpxqq²

px`1qpx`2q dx(qui sont bien définies) Dans la suite log est la détermination du log-

arithme associée à la détermination de l’argument dans s0,2πr; i.e. on exclut le demi-axe des ab- scisses positives : Ω “

C

^{ztz P}

C

^{|Repzq ě 0u.} Pour εPs0,1r, on noteγ_ε le demi-cercle de centre O, de rayonεsitué dans le demi-plan gauche, ori- enté négativement. On note Rε “

a

ε^´2´ε² et Γε l’arc de cercle de centre O, de rayon ε^´1, orienté positivement, obtenu en enlevant le “petit arc autour du point pε^´1,0q”. En- fin, on note Cε le lacet obtenu en juxtaposant l’arc Γ_ε, le segment rR_ε,0s ´ iε, l’arc γ_ε et le segment r0, Rεs ` iε. (voir dessin ci contre)

On pose fpzq “ plogpzqq² pz`1qpz`2q¨

1) Montrer que l’on définit ainsi une fonctionf holomorphe sur Ωzt´1,´2u. Calculer le résidu en

´1 et le résidu en ´2.

2) Justifier que lim

εÑ0^`

ż

Γε

fpzqdz “0et que lim

εÑ0^`

ż

γε

fpzqdz“0.

3) Montrer que lim

εÑ0^`

ż

r0,Rεs`iε

fpzqdz “J.

4) Que vaut lim

εÑ0^`

ż

r0,Rεs´iε

fpzqdz ? On pourra donner le résultat sans redonner toutes les justifications d’interversion faites dans la question précédente, mais en expliquant simplement le calcul effectué au niveau du Log.

5) CalculerI.

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