LM334 - Examen 2ème session 2013

LM334 - Examen 2ème session 2013

Documents autorisés - Calculettes et téléphones portables interdits

Une attention particulière sera portée à la clarté de la rédaction, ainsi qu’à la justification précise et complète de chaque résultat obtenu.

Les deux exercices sont à rédiger sur deux cahiers de composition distincts (une éti- quette sur chaque cahier).

Exercice 1

On s’intéresse à l’approximation d’une fonction f continue et de période 2π par les polynômes trigonométrique. On rappelle que pour n≥0 le noyau de Fejer est donné par

φ_n(t) = 1 2π(n+ 1)

n

X

k=0 k

X

l=−k

e^ilt = 1 2π(n+ 1)

sin²(^(n+1)t₂ ) sin²(₂^t) .

On introduit l’approximation F_Nf def définie par la somme de Fejer Fnf(x) =

Z π

−π

f(y)φn(x−y)dy.

et on note kgk:= sup_x∈R|g(x)|= sup_{x∈[−π,π]}|g(x)| la norme sup d’une fonction bornée et de période 2π.

1. Montrer que F_nf est un polynôme trigonométrique de degré n, c’est à dire appartient à l’es- pace Tn := Vect{x7→e^ikx : k =−n, . . . , n}.

2.Montrer que pour tout x∈R, on a f(x)−Fnf(x) =

Z π

−π

(f(x)−f(x−y))φn(y)dy.

3.On suppose dans la suite que f ∈C¹(R). Montrer que l’on a kf −F_nfk ≤ kf⁰kI_n avec I_n :=

Z π

−π

|y|φ_n(y)dy.

4.Montrer que

0≤I_n≤ π (n+ 1)

Z (n+1)π

0

sin²(t/2) t dt 5.En déduire pour n >1une estimation de convergence de la forme

kf −F_nfk ≤Ckf⁰kln(n)n⁻¹.

6.Que peut-on dire de cette estimation de convergence par rapport à celles dont on dispose dans le cours pourmin_g∈Tnkf−gk?

1

Exercice 2

On notekgk= sup_x∈R|g(x)|la norme sup d’une fonction bornée surR. On se donne une fonction réelle f ∈ C²(R) telle que 0 < c ≤ |f⁰(x)| et |f⁰⁰(x)| ≤ C pour tout x ∈ R, où c, C > 0 sont deux constantes fixées.

1. Montrer que f change nécessairement de signe sur R (on pourra discuter ses limites en +∞

et−∞) et montrer qu’il existe un unique x^∗ ∈R telf(x^∗) = 0.

Dans la suite de cet exercice, on étudie une méthode de type Newton dépendant d’un paramètre

τ ∈R

x₀ donné dans R,

x_n+1 =x_n−τ f⁰(x_n)⁻¹f(x_n).

2. Soit la fonction g_τ(x) = x −τ f⁰(x)⁻¹f(x). Montrer que x^∗ est un point fixe de g et calculer g_τ⁰(x^∗).

3. Déterminer un intervalle ]a, b[ le plus large possible tel que la méthode soit convergente pour τ ∈]a, b[et pour x₀ choisi suffisament près de x^∗.

4.Déterminer les valeurs de τ dans cet intervalle telles que : 4.1) la convergence soit géométrique.

4.2) la convergence soit quadratique.

5.A présent nous étudions ce qu’il se passe pour τ positif assez petit et pour un point de départ x₀ quelconque. On définit

I(x₀) = {x∈R : |f(x)| ≤ |f(x₀)|}.

Montrer que I(x₀)est un intervalle fermé borné.

6.On définit ensuite

k(x₀) = max

x∈I(x0)

f(x) f⁰(x)²

≥0.

Montrer que x^∗ ∈I(x₀)et que

|f(g_τ(x))| ≤

1−τ +kf⁰⁰kk(x₀) 2 τ²

|f(x)| pour tout0< τ <1et tout x∈I(x₀).

7.En déduire qu’il existe τ >0 suffisamment petit tel quegτ(I(x0))⊂I(x0).

8. Montrer que f(x_n) tend vers 0 (indication : on pourra penser à utiliser h la fonction réciproque de f : h(f(x)) = x pour tout x ∈ I(x0)). En déduire que pour tout x0 ∈ R la méthode converge à condition de prendre τ suffisament petit.

2