LM334 - Examen de de Janvier 2013

LM334 - Examen de de Janvier 2013

Documents autorisés - Calculettes et téléphones portables interdits Les deux exercices doivent être rédigés sur deux cahiers différents

Une attention particulière sera portée à la clarté de la rédaction, ainsi qu’à la justification précise et complète de chaque résultat obtenu.

Exercice 1

Dans cet exercice on suppose queA∈ Mn(IR)est auto-adjointe et inversible et on noteλ1, . . . , λn∈IR ses valeurs propres. On considèref :IRⁿ→IRⁿune fonctionL-Lipschitzienne pour la norme euclidienne c’est à dire telle que

kf(x)−f(y)k ≤Lkx−yk, pour toutx, y∈IRⁿ, oùk · kdésigne la norme euclidienne sur IRⁿ.

1.Montrer queA⁻¹ est aussi auto-adjointe. Que peut-on dire sur les vecteurs propres et valeurs propres deA⁻¹ par rapport à ceux deA?

2.Montrer que la norme deA⁻¹subordonnée à la norme euclidienne vérifiekA⁻¹k=_min{|λ ¹

1|,...,|λ_n|}. 3. Montrer que si L < min{|λ1|, . . . ,|λn|}, alors l’application g(x) = A⁻¹f(x) est contractante pour la norme euclidienne sur IRⁿ.

4. Soit h : IRⁿ → IRⁿ définie par h(x) := Ax−f(x). Montrer que si L < min{|λ1|, . . . ,|λn|}, l’équa- tion

h(x) = 0, admet une unique solutionx^∗∈IRⁿ.

5. Montrer que quelque soit x⁰ ∈ IRⁿ, la suite (x^k)_k≥0 définie par x^k = g(x^k−1) converge vers x^∗ et donner une estimation dekx^∗−x^kk.

6.Soitα >1 etβ∈IR. Etablir une condition suffisante surα, β pour que le système d’équations x1+αx2−sin(βx2) = 0

αx₁+x₂−cos(βx₁) = 0 admette une unique solutionx^∗= (x^∗₁, x^∗₂)∈IR².

Exercice 2

Soit[a, b]un intervalle etn >0. On considère la fonction de[a, b]ⁿ⁺¹ dans IR+ définie par

G(x0, x1, . . . , xn) =

n

Y

i=0





Y

j∈{0,...,n}−{i}

|xi−xj|



= Y

(i,j)∈{0,...,n}²eti6=j

|xi−xj|.

On admet dans un premier temps queGadmet un maximum en un point (x^∗₀, x^∗₁, . . . , x^∗_n)∈[a, b]ⁿ⁺¹ et que lesx^∗_i sont deux à deux distincts. Les nombres x^∗₀, x^∗₁, . . . , x^∗_n sont appelés points de Fekete d’ordre nsur[a, b]. On s’intéresse à l’opérateurIn d’interpolation polynomiale de degrénaux points de Fekete.

On considère pour cela les fonctions de base de Lagrange

`i(x) = Y

j∈{0,...,n}−{i}

x−x^∗_j x^∗_i −x^∗_j.

1

1.Montrer que pour touti∈ {0, . . . , n} etx∈[a, b], on a

|`_i(x)|²= G(x0, . . . , xn) G(x^∗₀, . . . , x^∗_n), oùx_j:=x^∗_j pourj6=ietx_i:=x.

2. En déduire l’estimation Λn ≤ n+ 1 pour la constante de Lebesgue associée aux points de Fekete qui est définie parΛn:= max_f∈C([a,b])^kI_kfk^nfk, oùkgk:= max_x∈[a,b]|g(x)| désigne la norme max sur[a, b].

3. Etablir l’estimation suivante : pour tout entier m > 0, il existe une constante C qui dépend de m etb−atelle que pour toute fonctionf ∈C^m([a, b])on a

kf−I_nfk ≤Cn^−(m−1)kf^(m)k.

4.Montrer l’existence des points de Fekete, c’est à dire du maximum deGsur[a, b]ⁿ⁺¹. 5.Montrer que ces points sont deux à deux distincts.

6.Montrer queaetb font toujours parties des points de Fekete.

7.Trouver les positions des trois points de Feketex^∗₀, x^∗₁, x^∗₂ dans le casn= 2.

2