LM334 - Examen du 16 Décembre 2011

LM334 - Examen du 16 Décembre 2011

Documents, calculettes et téléphones portables interdits

Une attention particulière sera portée à la clarté de la rédaction, ainsi qu’à la justification précise et complète de chaque résultat obtenu.

Important : l’examen comporte deux exercices qui sont à rédiger sur deux cahiers diffé- rents comportant chacun l’étiquette de l’étudiant.

Exercice 1

Dans cet exercice, on définit la racine carré d’une matrice A ∈ Mn(IR) symmétrique et positive, et on étudie son calcul par une méthode itérative.

1. SoitA ∈ Mn(IR) symmétrique et positive. On rappelle queA peut-être diagonalisée dans une base orthonormée :

A=U^∗DU,

oùU est unitaire etD= diag(λ₁, . . . , λ_n)avecλ_i ≥0pour tout i. On pose√

D= diag(√

λ₁, . . . ,√ λ_n).

Montrer qu’il existe une unique matriceB ∈ Mn(IR) symmétrique et positive, et telle queB² =A, et queB est donnée par

B=U^∗√ DU.

On dit queB est la racine carré deAet on poseB=√ A.

2.On propose l’algorithme suivant pour calculer la racine carré deA: on part de la matrice identité A0=I

et on définit par récurrence la suite de matrice

Ak+1= 1 2Ak+1

2A⁻¹_k A.

Montrer que si cette suite converge, alors sa limiteLest telle queL²=A.

3.Montrer que la suiteAk est donnée par

Ak =U^∗DkU,

oùDk= diag(µ^k₁, . . . , µ^k_n)et où pour touti= 1, . . . , n, la suite(µ^k_i)_k≥0 est définie par la récurrence

µ⁰_i = 1 et µ^k+1_i =µ^k_i 2 + λi

2µ^k_i.

4.En étudiant la fonctiong(x) =^x₂ +_2x^λi, montrer que la suite(µ^k_i)k≥0 est décroissante à partir du rang k= 1et qu’elle tend vers√

λi quandk→ ∞.

5.En déduire queAk converge quandk→+∞et que sa limiteLest égale à√

A. Que peut-on dire sur la vitesse de décroissance dekA−Akk, pour une norme matriciellek · kdonnée, lorsquek→+∞?

Exercice 2

Soit le segmentI= [−1,1]. Nous considérons l’ensembleC⁰(I)des fonctions continues surI, muni de la norme de la convergence uniforme

kgk= sup

x∈I

|g(x)|.

1

L’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal àN est notéPN, et on note (Lp)_p≥0 la suite des polynômes de Legendre, avec la normalisation

Z 1

−1

|Lp(x)|²dx= 1.

On rappelle queL_p est un polynôme de degrépet que les(L_p)_p≥0forment une famille orthonormale

Z 1

−1

L_p(x)L_q(x)dx= 0, p6=q. (1)

a) Calculer les polynômesL₀,L₁ etL₂.

b) Pour toute fonction continuef ∈ C⁰(I)nous définissons la série tronquéeΠ_Nf ∈ PN par

ΠNf =

N

X

p=0

hf, LpiLp,

avechf, gi=R1

−1f(x)g(x)dx. Montrer que pour toutg∈ PN, on a ΠNg=g.

L’objet de la suite de l’exercice est l’étude de la norme de l’erreur kf −ΠNfk pour une fonction f ∈ C⁰(I).

c) On définit la norme de l’applicationΠN par

kΠNk= sup

f∈C⁰(I),kfk=1

kΠNfk.

Montrer que

kf−Π_Nfk ≤C_N inf

g∈PN

kf −gk,

avecCN = 1 +kΠNk.

d) Soitf ∈ C⁰(I). Montrer l’inégalité

kΠNfk ≤

N

X

p=0

|hf, Lpi|²

!¹2 N

X

p=0

kLpk²

!¹2

.

e) On admet l’inégalitékL_pk ≤√

p+ 1 pour tout p≥0. Montrer qu’il existe une constante c >0 telle que pour toutN ≥1,

N

X

p=0

kLpk²

!¹2

≤cN.

f ) Montrer que

N

X

p=0

|hf, Lpi|²≤ Z 1

−1

f(y)²dy

et en déduire l’inégalitékΠNk ≤c√

2N pourN ≥1.

g) En déduire qu’il existe une constante C >0 telle que

kf−ΠNfk ≤Ckf^(m+1)k N^m pour toutf ∈ C^m+1(I)et N ≥1.

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