Exercice no1
Soit P une parabole de foyer F et de directrice .
1) Soit A; A0 deux points de P, H; H0 leurs projections sur et D la médiatrice de HH0. Soit T et T0, les tangentes à P en A et A0.
Montrer que T ; T0; D sont concourantes.
2) Pour tout point M extérieur à P, montrer qu'il existe deux tangentes à P passant par M et les construire à partir de , M et F .
Pour 0 < < =2 on note H l'hyperbole de foyer F , de directrice et d'excentricité 1 cos . 3) Soit M tel que les tangentes T ; T0 à P passant par M verient (T ; T0) = :
Montrer que M 2 H.
Exercice no2
Question préliminaire Soit
ABCD un trapèze isocèle avec AB k CD, d la médiatrice commune de AB et CD, d0 la bissectrice intérieure de \CAD, d00 la bissectrice extérieure de \ADB.
Montrer que d; d0; d00 sont concourantes.
Soit E un espace euclidien de dimension 3. Une similitude (directe ou indirecte) sur E de rapport > 0 est la composée d'une homothétie de rapport et d'une isométrie, directe ou indirecte.
1) Montrer que si 6= 1, a un unique point invariant O.
Si a un point invariant unique O, son centre, elle se décompose sous la forme = hf = f h, où f est une isométrie xant O, et h = hO; est l'homothétie de centre O et de rapport .
distincts ; et + = f+ h+; = f h leurs décompositions.
2) Montrer que F = fM; +(M) = (M)g est un sous-espace ane.
3) Discuter la nature de 1 + selon que F contient 0,1, ou plusieurs points.
On suppose que F est un plan, noté P, qui n'est pas orthogonal à O+O . On note
sP la symétrie par rapport à P,
s la symétrie par rapport à O , = s (O+), r = s f ,
F+ = sP(O ); F = sP(O+); G+ = h+(F+) et G = h (F ), P+ le plan médiateur de G+O , P le plan médiateur de G . 4) Vérier que f+ 6= Id, f 6= s et préciser la nature de r .
5) Montrer que O+; F+; O ; F sont distincts, non-alignés et forment un trapèze isocèle (ou un rectangle).
Soit (O; i; j; k) un repère orthonormé tel que le plan Oxy = P0 contienne O+F+O F . Pour M 2 E, zM désigne sa troisième coordonnée.
On note D = P0 \ P; D+ = P0\ P+; D = P0\ P . 6) Vérier que k est orthogonal à O+F+; G+O et G .
7) Montrer que l'intersection de P; P+ et P est une droite dirigée par k.
8) Montrer que l'axe + de f+ est dans P+ et que l'axe de r est dans P . On note I l'intersection \ P0, J+= h+(I) et J = s h (I).
9) Montrer que si + et rencontrent en K+ et K , alors zK+zK = kJ J+k2 42 .
r
r r
A0
A F
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@@
s
t t
t
sJ+
sJ
O+ r rF+
r
O F r
G r
rG+
r
D D+
D
I
P
0d
t
d t
t d
d
t
t
d t
K+ K
+
P
P+ P
P0
J J+
t
